Izomorfizm X: Jeżeli mam homomorfizm F: R^m−>R^m, to 1) jeżeli ma to być izomorfizm to dim im F = m? I aby to nastąpiło wyznacznik macierzy homomorfizmu musi być różny od zera? 2) jeżeli dim ker F=m, to wszystkie wektory przechodzą na wektor zerowy, a w związki z tym wyznacznik macierzy przekształcenia musi być równy 0?

Pan Kalafior: dla jasności, chodzi o morfizmy przestrzeni liniowych założyłbym m>0 jeśli mówimy o macierzy przekształcenia, bo trudno jest mówić o macierzy pustej i jej wyznaczniku 1) Tak. dim Im F = m jest równoważne warunkom a) F to izomorfizm b) wyznacznik A macierzy przekształcenia F jest ≠ 0 2) tak det A = 0 ⇔ F ma nietrywialny kernel Czyli dim Ker F > 0

X: 2) czy dim ker F może być większe od 0, i jednocześnie det A≠0?

Pan Kalafior: A co ja napisałem?

X: Ah, faktycznie, w 1) równoważność. Dzięki

kasia: Hm, a czy dim ker F może być większe od 0, i jednocześnie det A≠0, jeżeli F: R^m→Rⁿ, m≠n?

kasia: Chociaż wtedy A nie byłaby macierzą kwadratową, więc nawet nie ma co tu mówić o wyznaczniku.

Pan Kalafior: dim Ker F > 0 oznacza po prostu że F nie jest różnowartościowe