Dowod BAI PING TING: jezeli a+b+c=0 to a³+b³+c³= 3abc Zalozenie a+b+c=0 Teza a³+b³+c³= 2abc Dowod : Wszystkie przejscia wykonuje rownowaznie c=−a−b a³+b³+(−a−b)³= 3abc a³+b³−a³−3a²b−3ab²−b³= 3abc −3a²b−3ab²= 3abc −3ab(a+b)= 3abc −3ab(a+b)= 3ab(−a−b) −3ab(a+b)= −3ab(a+b) 3ab(a+b)= 3ab(a+b) c. k.d

xyz: ok

BAI PING TING: dzieki

Saizou : Wg mnie lepiej pokazywać, że L−P=0 tak jakoś ładniej zapis wygląda

PW: Zadanie jest szczególnym przypadkiem wzoru, który warto znać: (x+y+z)³−(x³+y³+z³) = 3(x+y)(x+z)(y+z).

BAI PING TING: Dobry wieczor PW (x+y+z)³= x³+y³+z³+ 3x²y +3y²x + 3x²z +3xz² + 3zy² +3y²z (+6xyz −ale to=0 bo xyz=0 Teraz jak z tych trojek zrobic taki nawias jak to ty zrobiles?

BAI PING TING: Ja bym zrobil tylko tak 3xy(x+y) +3xz(x+z) + 3yz(y+z)

PW: W tym wzorze nie ma żadnych założeń, licz\by x, y, z są dowolne.

jc: Można też tak. a+b+c=0 f(t)=(t−a)(t−b)(t−c)=t³−(a+b+c)t²+(ab+bc+ca)t−abc= t³+(ab+bc+ca)t−abc 0=f(a)+f(b)+f(c)=a³+b³+c³−(ab+bc+ca)(a+b+c)−3abc=a³+b³+c³−3abc

BAI PING TING: jc Ja musze miec pokazane jak najprosciej .Wtedy łapie .

PW: Wymnażamy prawą stronę wzoru z 19:45 wczoraj; powolutku − najpierw iloczyn wyrażeń w 2 nawiasach: (x+y)(x+z) = x² + xz + xy + yz Wynik mnożymy przez wyrażenie w trzecim nawiasie: (x+y)(x+z)(y+z) = (x² + xz + xy + yz)(y+z) = x²y + x²z + xyz + xz² + zy² + xyz + y²z + yz² = x²y + x²z + 2xyz + xz² + zy² + y²z + yz², co pomnożone przez 3 daje 3x²y + 3x²z + 6xyz + 3xz² + 3zy² + 3y²z + 3yz². Sam wyliczyłeś lewą stronę − jest równa prawej. Wzór (x+y+z)³ − (x³+y³+z³) = 3(x+y)(x+z)(y+z) jest więc prawdziwy dla dowolnych x,y,z∊R. Jeżeli podstawimy x=a, y=b, z= c i zastosujemy założenie a+b+c = 0, to otrzymamy dowód twierdzenia z pierwszego postu.