Aksjomat WhiskeyTaster: Mam pytanie odnośnie aksjomatu ciągłości. Aksjomat brzmi tak: Każdy niepusty, ograniczony z góry podzbiór A ⊂ R ma kres górny M = sup A ∊ R. Tutaj jest wszystko jasne. Kres górny z kolei, to najmniejsze z ograniczeń górnych zbioru. To też jest oczywiste. I natknąłem się na stwierdzenie, że zbiór liczb wymiernych Q nie spełnia aksjomatu ciągłości, ponieważ nie każdy zbiór liczb wymiernych ograniczony z góry ma kres górny będący liczbą wymierną. Tutaj nie bardzo tego rozumiem. Zgodnie z aksjomatem, wystarczy, by kresem górnym była liczba rzeczywista, a nie konkretnie naturalna/całkowita/wymierna. Natknąłem się na przykład popierający stwierdzenie, że Q nie spełnia ciągłości, a jako przykład podano zbiór A ⊂ Q, A = {x ∊ Q: x² < 2}. Tutaj widać, że kresem górnym jest liczba √2 oraz √2 ∉ Q, ale z drugiej strony według aksjomatu wystarczy, że sup A ∊ R. Ktoś to mi naprostuje?

jc: Gdyby Twój świat liczb kończył się na liczbach wymiernych, to pewne ograniczone z góry podzbiory nie miałyby kresu górnego. Zbiór liczb wymiernych x, których kwadrat jest mniejszy od 2 nie ma kresu górnego (pamiętaj, mamy tylko liczby wymierne!).

WhiskeyTaster: Rozumiem, więc za szeroko patrzyłem. Na ten moment nie istnieją inne liczby oprócz naturalnych, całkowitych i wymiernych, więc taki zbiór nie ma kresu górnego (na ten moment). Wszystko jasne, dziękuję, jc!