Dowod niewinnosci ! BAI PING TING: Udowodnij ze jesli x,y,z sa liczbami calkowitymi i liczba x+y+z jest podzielna przez 6 to liczba x³+y³+z³ jest podzielna przez 6 Wskazowka do zadania Wykaz ze liczba x³+y³+z³−(x+y+z) jest podzielna przez6 Prosze o rozwiazanie z wytlumaczeniem

PW: To proste: x³−x = x(x²−1) = (x−1)x(x+1) − a o tym wiesz co powiedzieć.

ICSP: Jeżeli 6 | (a + b + c ) to a + b + c jest liczbą parzystą, więc przynajmniej jedna z liczb a , b , c jest liczbą parzystą. Dalej rozważmy wielomian : w(x) = (x−a)(x−b)(x−c) = x³ − (a + b + c)x² + (ab + ac + bc)x − abc Jego miejscami zerowymi są x₁ = a , x₂ = b , x₃ = c. Dlatego w(a) = 0 w(b) = 0 w(c) = 0 co daje a³ − (a + b + c)a² + (ab + ac + bc)a − abc = 0 b³ − (a + b + c)b² + (ab + ac + bc)b − abc = 0 c³ − (a + b + c)c² + (ab + ac + bc)c − abc = 0 Dodając równania stronami łatwo dostać : a³ + b³ + c³ = (a + b + c)[a² + b² + c² − 3(ab + ac + bc)] + 3abc Jak widać suma sześcianów jest podzielna przez 6 jako suma dwóch liczb podzielnych przez 6 (przy założeniu 6 | a + b + c)

ICSP: Jak widać przekombinowałem.

BAI PING TING: dziekuje Panowie PW Czy wtedy nalezy tez pokazac y³−y i z³−z? ze sa podzielne przez 6 ?

PW: Oczywiście, i dodać stronami te trzy liczby podzielne przez 6.

BAI PING TING: Dziekuje

Pan Kalafior: Oczywiście, że nie. To tylko kwestia oznaczeń, i raczej nikt by tego nie oczekiwał. Wystarczy krótki komentarz typu 'y³−y, z³−z są podzielne przez 6 w sposób analogiczny'. Niektórzy nawet nie dodaliby komentarza.