Dowod BAI PING TING: Udowodnij ze dla dowolnej parzystej liczby naturalnej n liczba postaci n(n+2)(2n−1) jest podzielna przez 24 zaczalem kombinowac tak Iloczyn dwoch kolejnych parzystych liczb naturalnych jest podielny przez 2 jak i przez 4 wiec jest podzielny przez 8 Zostaje mi udowodnic ze ta liczba jest podzielna przez 3 Jak mam to zrobic?

BAI PING TING:

piotr: Indukcyjnie: porzystość: n=2k 2k(2k+2)(4k−1) = 16 k³ + 12 k² − 4 k , podzielne przez 24 dla k=1 dla k+1: 2(k+1)(2(k+1)+2)(4(k+1)−1) = 16 k³ + 60 k² + 68 k + 24 = = (16 k³ + 12 k² − 4 k) + 24(2k² + 3k + 1) z podzielności dla k wynika podzielność dla k+1, ckd.

BAI PING TING: Dziekuje piotr A tak bardziej po licealnemu ?

piotr: A nie ma w liceum indukcji matematycznej?

BAI PING TING: Byla kiedys teraz nie ma

BAI PING TING: zostaloby do udowodnienia ze liczba 2n−1 jest podzielna przez 3

ICSP: Skoro n jest parzysta to możemy ją zapisać w postaci n = 2k , k ∊ N Wtedy W = 4k(k+1)(4k − 1) = 4k(k+1)(4k − 4 + 3) = 4(k−1)k(k+1) + 12k(k+1) = 24(l + m) gdzie l , m ∊ Z Ostatnie przejście wynika z faktu, że iloczyn kolejnych k liczb naturalnych jest podzielny przez k!.

BAI PING TING: dzieki ICSP piotr i ICSP bardziej zalezaloby mi na tym jak pokazc ze ta liczba jest podzielna przez 3 zeby to bylo bardziej zrozumiale dla przecietnego licealisty

janek191: n =2 k 2 n − 1 = 4 k − 1 nie jest podzielna przez 3

BAI PING TING: Dobra ICSP juz widze z tego 4(k−1)(k(k+1) mam podzielnosc przez 24 bo (k−1)k(k+1) podzielna przez 6 i razy 4 podzielna przez 24