Udowodnij ze.... BAI PING TING: Udowodnij z edla dowolnej liczby naturalnej n liczba n(n+1)(2n²+1) jest podzielna przez 6 Wskazowka widac ze 2|n(n+1)(2n²+1) Wystarczy pokazac ze 3|n(n+1)(2n²+1) No jest podzielna przez 2 bo mamy dwie kolejne liczby naturalne n(n+1) z ktorych conajmniej jedna jest podzielna przez 2 Teraz jak mam pokazac ze ta liczba jest podzielna przez 3 wystarczy jesli pokaze podzielnosc przez 3 liczby 2n²+1? A moze to nalezy zrobic inaczej?

BAI PING TING: Podzielnosc przez 3 liczby postaci 2n²+1 potrafie wykazac A jakis inny sposob lub sposoby ?

Eta: Podobnie , jak już Ci podawałam L= n(n+1)[2(n²−1)+3] = 2(n−1)n(n+1)(n+1)+3n(n+1) Podaj teraz uzasadnienie podzielności przez 6

Mila: Wykazać, że 2n²+1 podzielna przez 3. Albo tak n*(n+1)*[2n²−8+9]= =n*(n+1)*[2*(n²−4)+9]=n*(n+1)*2*(n−2)*(n+2)+n*(n+1)*9 =[(n−2)*n*(n+1)*(n+2)]+[9*n*(n+1)]= 6k+6m=6*(k+m), k,m∊N

Pytający: Ale nie dla każdego n naturalnego 2n²+1 jest podzielne przez 3.

ABC: jednak nie rozumiesz tego do końca , dla n=3 liczba 2*3²+1=19 nie jest podzielna przez 3 pokazałem w poprzednim wątku ten dowód na przypadki a zawsze pozostaje też metoda indukcji matematycznej

BAI PING TING: Dobry wieczor Milu ABC chyba jednak masz racje Eta sposrod 3 kolejnych liczb naturalnych przynajmniej jedna jest podzielna przez 2 i conajmniej jedna jest podzielna przez 3

BAI PING TING: ABC Przeczytalem jeszcze raz co tam napisales Wytlumacz dlaczego jesli n lub n+1 nie dzieli sie przez 3 to wtedy n daje resszte 1 z dzielenia przez 3 Wtedy mamy postac n=3k+1 i jesli wstawimy do liczby L=2n²+1 wtedy ta liczba jest podzielna przez 3 ?

BAI PING TING: Eta Podam inne uzasdnienie liczba 2(n−1)n(n+1)(n+1) dzieli sie przez 2 i przez 3 gdyz mamy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych Wiec dzieli sie przez 6 liczba 3n(n+1) dzieli sie przez 3 i takze przez 2 bo mamy iloczym dwoch kolejnych liczb naturalnych n i (n+1) wiec conajmniej jedna z nich dzieli sie przez 2 Wiec L=3n(n+1) dzieli sie przez 6 Sumujac Liczba postaci 2(n−1)*n(n+1)(n+1)+3n(n+1) dzieli sie przez 6

Blee: Odnośnie pytania do ABC jeżeli zarówno n jak i n+1 nie jest podzielne przez 3, to oznacza że n daje resztę 1. Dlaczego? 1) n nie może dawać reszty 0 (bo by był podzielny przez 3) 2) n nie może dawać reszty 2, bo wtedy n+1 dawałby resztę 0 (czyli byłby podzielny) 3) jedyna możliwość jest taka, że n daje resztę 1, natomiast (n+1) wtedy daje resztę 2

BAI PING TING: Witam i dzięki

BAI PING TING: czyli reasumujac to wszystko rozpatruje Przypadek nr 1 n lub n+1 dzieli sie przez 3 wobec tego iloczyn tych liczb jest takze podzielny przez 3 Iloczyn dwoch kolejnych liczb naturalnych jest podzielny takze przez 2 Wobec tego liczba postaci L=n(n+1)(2n²+1) jest podzielna przez 6 Albo np tak czy moge zrobic a) jesli n dzieli sie przez 3 to jest postaci n= 3k Wtedy n+1 daje reszte 1 przy dzieleniu przez 3 jest postaci n+1=3k+1 L= 3k(3k+1)(2(3k)²+1)= (9k²+3k)(18k²+1)= 3k(3k+1)(18k²+1) dzieli sie przez 3 b) jesli liczba n+1 dzieli sie przez 3 to jest postaci n+1= (3k) wtedy liczba n przy dzieleniu przez 3 daje reszte 2 wiec jest postaci n=3k+2 L=(3k+2)*3k*2(3k+2)²+1 dzieli sie przez 3 Wtedy liczba postaci n(n+1)(2n²+1) jest podzielna przez 3 i takze jest podzielna przez 2 wiec jest podzielna przez 6 Przypadek nr 2 Zarowno n jak i n+1 nie jest podzielne przez 3 Oznacza to ze n przy dzieleniu przez 3 daje reszte 1 Dlaczego ? n nie moze dawac reszty 0 bo bylby podzielny przez 3 a nie moze byc n nie moze dawac reszty 2 bo wtedy n+1 bylby podzielny przez 3 jedynie n daje reszte 1 przy dzieleniu przez 3 i jest w postaci n=3k+1 a n+1 daje reszte 2 przy dzieleniu przez 3 i jest postaci n+1= 3k+2 wtedy L=n(n+1)(2n²+1)= (3k+1)(3k+2)(2*(3k+1)²+1)= (9k²+9k+2)(18k²+12k+3)= 3(6k²+4k+1)(9k²+9k+2) podzielna przez 3 jest takze podzielna przez 2 to jest podzielna przez 6 Moge to tak zrobic?

Blee: a przypadku 2 wystarczy zauważyć, że dla n = 3k+1 2n² + 1 = 2(9k² + 6k + 1) + 1 = 3(3k² + 2k + 1) czyli jest to liczba podzielna przez 3

BAI PING TING: czyli jest dobrze . OK dzieki