Sumy kwadratów i sumy iloczynów
ktos342341: Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć, gdzie podziało się a
i+12 w drugiej równości?
https://zapodaj.net/c90c43ef15fb3.jpg.html
Również nie rozumiem przekształcenia z przedostatniej równości na ostatnią nierówność.
Potrzebuję elementarnej pomocy. Z góry dziękuję.
19 wrz 18:39
Blee:
to co tam jest napisane NIE DO KOŃCA jest prawdą:
∑a
i2 = a
12 + a
22 + ... + a
n−12 + a
n2
∑a
ia
i+1 = a
1a
2 + a
2a
3 + a
3a
4 + ... + a
na
n+1
więc:
∑a
i2 − ∑a
ia
i+1 = a
12 − a
1a
2 + a
22 − a
2a
3 + a
32 + .... + a
n−12 − a
n−1a
n
+ a
n2 − a
na
n+1 =
| | 1 | | 1 | | 1 | |
= |
| a12 + |
| (a12 − 2a1a2 + a22) + |
| (a22 − 2a2a3 + a32) + ... + |
| | 2 | | 2 | | 2 | |
| | 1 | | 1 | |
|
| (an−12 − 2an−1an + an2) + |
| an2 − anan+1 = |
| | 2 | | 2 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | |
= |
| a12 + |
| an2 − anan+1 + ∑ |
| (ai2 − 2aiai+1 + ai+12) = |
| | 2 | | 2 | | 2 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | |
= |
| a12 + |
| an2 − anan+1 + |
| ∑(ai − ai+1)2 |
| | 2 | | 2 | | 2 | |
19 wrz 19:07
Pytający:
Na początku masz założenie, że an+1 = a1, więc:
∑i=1 n((ai+1)2) = ∑i=2 n+1((ai)2) = ∑i=2 n((ai)2) + (an+1)2 =
= ∑i=2 n((ai)2) + (a1)2 = ∑i=1 n((ai)2)
19 wrz 19:09
Blee:
a widzisz ... nie przyjrzałem się treści zadania
19 wrz 19:43
ktos342341: Nie jestem w stanie zrozumieć waszych zapisków.
19 wrz 20:56
Bleee:
To napisz czego konkretnie nie rozumiesz, to wyjasnimy
19 wrz 20:57
ktos342341: Nie rozumiem tego, dlaczego znika ai+12, bo tak by wynikało ze wzoru skróconego mnożenia (w
drugiej linijce).
19 wrz 21:05
Blee:
ale mówisz o zapisie Pytającego
19 wrz 21:18
ktos342341: Nie, mówię o zdjęciu, które wysłałem.
19 wrz 21:46
Blee:
to może jeszcze raz:
(ai − ai+1)2 = ai2 − 2aiai+1 + ai+12 co wynika ze wzoru skróconego mnożenia,
zgoda?
19 wrz 21:51
Blee:
no to
∑
1 n (a
i − a
i+1)
2 = (a
12 − 2a
1a
2 + a
22) + (a
22 − 2a
2a
3 + a
32) + .... +
(a
n−12 − 2a
n−1a
n + a
n2) + (a
n2 − 2a
na
n+1 + a
n+12) , zgoda
19 wrz 21:53
Blee:
więc to dalej mamy:
... = a
12 + 2a
22 + 2a
32 + .... + 2a
n−12 + 2a
n2 + a
n+12 − 2( a
1a
2 + a
2a
3 +
... + a
n−1a
n + a
na
n+1) , zgoda
19 wrz 21:55
Blee:
jako, że w zadaniu masz podane, że a
1 = a
n+1,
to a
n+12 zapisujesz jako a
12
i masz:
... = 2a
12 + 2a
22 + 2
a3
2 + .... + 2a
n−12 + 2a
n2 − 2( a
1a
2 + a
2a
3 +
... + a
n−1a
n + a
na
n+1) , zgoda
19 wrz 21:57
Blee:
no i to w końcu można zapisać jako:
... = 2∑
1n a
i2 − 2∑
1n (a
ia
i+1) , zgoda
19 wrz 21:58
ktos342341: W końcu to zrozumiałem, wielkie dzięki
!
19 wrz 22:10
ktos342341: A gdyby zamiast "i" było tam "n=0" pod znakiem sumy, to jest coś takiego możliwe i by się
rozwiązywało tak samo? Nie wiem, czy zrozumiesz, o co mi chodzi, bo zastanawiam się właśnie
nad związkiem "i" z "n".
19 wrz 22:14
Blee:
'i' to jest tylko indeks w sumie
∑
i=1n 'tu coś tam' oznacza, że sumujemy kolejne elementy w których zmieniamy symbol 'i'
który jest równy 1, później 2, później 3, itd.
zapis
∑
n=0n 'tu coś tam' jest bez sensu, bo jak możemy sumować elementy 'po n' gdy ostatnim
elementem jest właśnie ów n
19 wrz 22:27
Blee:
więc tak:
∑i=1n i = 1 + 2 + 3 + .... + n
∑i=1n i*j = 1j + 2j + 3j + ... + n*j
∑j=1n i*j = 1i + 2i + 3i + ... + n*i
∑ciupaka=1n i*j*ciupaka = i*j*1 + i*j*2 + ... +i*j*n
tak widzisz ... to co 'masz na dole sumy' oznacza jaki symbol 'będzie się zmieniał' i wartości
1 i n oznaczają od jakiej wartości do jakiej będzie następowała zmiana (a co za tym idzie, ile
elementów sumy będzie)
19 wrz 22:30
Blee:
Jeżeli w przyszłości będziesz miał jakiekolwiek elementy programowania, to tam będziesz z
pewnością miał pętle i wtedy z pewnością pojmiesz tę kwestię
19 wrz 22:31
