zbieżność jednostajna ICSP: Mam pytanie dotyczące zbieżności jednostajnej. Załóżmy, ze mamy ciąg funkcji (f_n) zbieżny jednostajnie do funkcji f. Jeżeli każda z funkcji f_n jest ciągła to ciągłość przejdzie również na funkcję graniczną f. Jeżeli każda z funkcji f_n jest analityczna to analityczność przejdzie na funkcję f. Zastanawiam się nad przykładem pewnej własności funkcji która nie przejdzie na funkcję f. Tzn będzie spełniona przez każdą funkcję z ciągu f_n ale nie przez f. Oraz dodatkowe pytanie czy takie przechodzenie własności ciągu na funkcję graniczną ma jakąś nazwę?

Adamm: Przykład. Różniczkowalność http://www.mathcounterexamples.net/counterexamples-around-differentiation-of-sequences-of-functions/ Nazwa... może domkniętość? Zbioru funkcji ciągłych, analitycznych...

Adamm: Czasami się wprowadza trochę inne metryki d(f, g) = sup_x∊X |f(x)−g(x)|+sup_x∊X |f'(x)−g'(x)| ta odpowiada bardziej funkcjom które są różniczkowalne

Adamm: Tak poza tym. Bardzo się cieszę że ktoś prowadzi stronę na której są różnorakie matematyczne kontrprzykłady. Wydaje mi się że wiele ludzi skupia się przede wszystkim na twierdzeniach, ale kontrprzykłady są równie ważne, i czasami dają wiele intuicji.

ICSP: Przyznam szczerze, ze trochę się pogubiłem. Ciągłosć − "przechodzi" Różniczkowalność − "nie przechodzi" Analityczność − "przechodzi" Czy analityczność nie jest mocniejszym warunkiem od różniczkowalności ? Tzn : analityczność ⇒ różniczkowalność

Adamm: Jest mocniejszy. Nie widzę związku

ICSP: Wychodzi na to, ze nie do końca rozumiem różnicę między funkcją różniczkowalną a analityczną. W konsekwencji czego utożsamiam te pojęcia jako prawie identyczne

Adamm: Masz zbiór funkcji różniczkowalnych A, i zbiór funkcji analitycznych B B⊂A, B jest domknięty w metryce zbieżności jednostajnej No ale A raczej już nie musi być domknięty, prawda i tak nie jest co widać na przykładzie Nie wiem, może jak na to pobieżnie popatrzeć (naiwnie) to może się wydawać że skoro własność B przechodzi na B, to własność A przechodzi na A.