Równanie różniczkowe Ziom123: Rozwiąż równanie różniczkowe: y sin(xy) + (x sin(xy) + cos(y)) y′ = 0

Mariusz: P(x,y) = ysin(xy) Q(x,y) = xsin(xy)+cos(y)

δP
	=sin(xy)+xycos(xy)
δy

δQ
	=sin(xy)+xycos(xy)
δx

δF
	=ysin(xy)
δx

δF
	=xsin(xy)+cos(y)
δy

F(x,y)=−cos(xy)+g(y)

δF
	=xsin(xy)+g'(y)
δy

xsin(xy)+g'(y)=xsin(xy)+cos(y) F(x,y)=−cos(xy)+sin(y) Rozwiązanie równania różniczkowego w postaci uwikłanej to −cos(xy)+sin(y)=C

Ziom123: dziękuję

Ziom123: Ktoś mógłby wytłumaczyć może skąd się to wzięło F(x,y)=−cos(xy)+g(y) To jest całka z x i y z tych dwóch pochodnych wyżej ?

Mariusz: To jest całka tylko po x Tutaj nie ma texa ale te "dwie pochodne" to układ równań który należy rozwiązać aby otrzymać rozwiązanie równania różniczkowego najczęściej w postaci uwikłanej

Mariusz: Mam jeszcze jeden pomysł na to równanie To równanie jest zupełne i można je rozwiązywać w ten sposób ale można je także podstawieniem sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych y sin(xy) + (x sin(xy) + cos(y)) y′ = 0

	dx
Pomnóżmy to równanie obustronnie przez
	dy

y sin(xy)x' + (x sin(xy) + cos(y)) = 0 Zastosujmy podstawienie u=xy u'=x'y+x

	u'−x
x'=
	y

	u'		u
x'=		−
	y		y2

	u'		u		u
ysin(u)(		−		)+(		sin(u)+cos(y))=0
	y		y2		y

	u		u
sin(u)u'−		sin(u)+		sin(u)+cos(y)=0
	y		y

sin(u)u'=−cos(y) −sin(u)du=cos(y)dy cos(u)=sin(y)+C cos(u)−sin(y)=C Rozwiązanie równania różniczkowego w postaci uwikłanej to cos(xy)−sin(y)=C