Zadania z geometrii- pola figur płaskich Kinga: Przerabiam zadania ze zbioru "Geometria" Kiełbasy, zrobiłam ich kilkadziesiąt, ale przy tych nie potrafiłam wymyślić właściwego rozwiązania. Proszę o pomoc. 1) (297) W kwadrat wpisano prostokąt tak, że jego wierzchołki należą do boków kwadratów, a jego boki są równoległe do przekątnych kwadratu. Znajdź stosunek pól prostokąta i kwadratu wiedząc, że stosunek długości boków prostokąta jest równy 1:4. (Odp: 8/25) 2) (304) W rombie ABCD punkt E dzieli bok AB, gdzie |AB|=a, w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka A. Oblicz pole tego rombu, jeśli odległość punktu E od przekątnej AC jest trzy razy większa od odległości punktu E od przekątnej BD. (Odp: 12/37 a²) 3) (314) Wysokość DK równoległoboku ABCD zawiera się w dwusiecznej kąta ADB, zaś wysokość DL zawiera się w dwusiecznej kata BDC. Oblicz pole równoległoboku wiedząc, że odcinek KL ma długość d. (Odp: (2√3)d²) /3)

piotrek: a − bok kwadratu e=a−x Z twierdzenia Pitagorasa: d²=e²+e² d²=(a−x)²+(a−x)² d²=2a²−4ax+2x² d²=2(a−x)² ⇒ d=√2(a−x)² d=√2|a−x|, bo √x²=|x| d=√2(a−x), bo a>x Z twierdzenia Pitagorasa: c²=x²+x² c²=2x² c=x√2 Stosunek długości boków prostokąta jest równy 1:4, zatem:

c		1
	=
d		4

c		x√2
	=
d		√2(a−x)

c		x
	=
d		a−x

Zatem:

x		1
	=
a−x		4

Stąd: 4x=a−x ⇒ a=5x Stosunek pola prostokąta do pola kwadratu:

cd		2x(a−x)
	=
a2		(5x)2

cd		2x*4x
	=
a2		25x2

cd		8x2
	=
a2		25x2

cd		8
	=
a2		25

Eta: a=5b√2 to P□=50b² P▭=16b²

P▭		16b2		8
	=		=
P□		50b2		2

i po ptokach

Kinga: Dzięki za pomoc piotrek, Eta Mógłby ktoś jeszcze poratować jakąś wskazówką do pozostałych zadań?

Eta: zad.2/ popraw treść......... zad3. 1/ rysunek 2/ skoro wysokości są dwusiecznymi to ΔABD i BDC są równoramienne zatem |AK|=|KB|=a to |AB|=|DC|=2a 3/ w ΔAKD : α+β=90^o to 2β=4α ⇒β=2α to β=60^o i α=30^o zatem taki równoległobok jest rombem iskłada się a dwóch trójkątów równobocznych o bokach 2a 4/ z tw. cosinusów wΔBKL d²=a²+a²−2a*a*cos120^o d²=3a² ⇒ a²=d²/3 Pole = 4a²*sin60^o

	2d2√3
P=
	3

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

geometria: Eta, dziękuję! ♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥ Sprawdziłam− treść zadania drugiego jest zgodna z poleceniem ze zbioru.

Saizou : Ecie chodzi o to, że odległość od przekątnych coś się nie zgadzają Wykonaj rysunek to zobaczysz.

Kinga: Niestety tak jest w zbiorze "Geometria" Kiełbasy, który mam za zadanie przerobić. Ewidentnie błąd w poleceniu. Wykonałam rysunek, dwa razy próbowałam podejść do zadania, ale przez odległość od punktu E poprawny wynik jest niewykonalny. Skoro nie da się rozwiązać, to chociaż zapytam o metodę: skorzystalibyście z podobieństwa trójkątów prostokątnych i twierdzenia Pitagorasa?

Saizou : dokładnie tak

Mila: Zadanie 2.

	y
1) W ΔBFE: cosα=
	2   a 3

	3x+y
W ΔASB: cosα=
	a

y		3x+y		2
	=		⇔y=		(3x+y)
2   a 3		a		3

y=6x |BS|=9x 2)

	2
W ΔBFE: (6x)2+x2=(		a)2
	3

	4
37x2=		a2
	9

	2a
x=
	3√37

	2a		6a
|BS|=9*		=
	3√37		√37

3) W ΔASB:

	6a
|AS|2+(		)2=a2
	√37

	36
|AS|2=a2−		a2
	37

	a
|AS|=
	√37

	2*6a
4) |AC|=
	√37

	2a
|DB|=
	√37

	12a2
PABCD=
	37

=====================

Eta: O kurczę .... a mnie tak nie wyszło dlaczego?

Eta: Mila

Eta: Już widzę,gdzie się "rąbnęłam" Poprawiam: Z podobieństwa trójkątów ( oznaczenia długości na rysunku) |BD|=18d , |AC|=3d to P=27d² i z tw. Pitagorasa

	9		4a2
81d2+		d2=a2 ⇒ 333d2=4a2 ⇒ d2=
	4		333

	27*4a2
P=
	333

	12a2
P=
	37

♥♥♥♥♥♥♥♥