Zbieżność jednostajna szeregu Alicja: Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu 1+x²ⁿ⁺¹ dla x∊<0;²₃> zrobiłam to tak lim n−>inf [1+ 0²ⁿ⁺¹] = 1 dla x=0 lim n−>inf [1+ 1/2²ⁿ⁺¹] = 1 dla x=1/2 lim n−>inf [1+ 2/3²ⁿ⁺¹] = 1 dla x=2/3 funkcja graniczna jest ciągła, więc szereg jest zbieżny. Jednak mimo to zadanie nie zostało mi uznane. Co tutaj zrobiłam nie tak?

jc: O jakim szeregu piszesz?

Alicja: Funkcyjnym

jc: Nie napisałaś nigdzie sumy, stąd pytanie.

Adamm: To że ciąg jest zbieżny, a funkcja graniczna jest ciągła, nie oznacza niestety, że zbieżność jest jednostajna. Należy tutaj wyliczyć limsup_n→∞ sup_{x∊[0, 2/3]} |1+x²ⁿ⁺¹−1|

Alicja: a mogłabym prosić o rozpisanie tego? Na zajęciach robiliśmy to jakoś graficznie rysując na wykresie i nie za bardzo to zrozumiałam.

Alicja: I czyli można powiedzieć że ciągłość funkcji granicznej jest warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym?

Adamm: Graficznie to pewnie było tłumaczenie intuicji związanej ze zbieżnością jednostajną. Intuicji to słowo kluczowe. d(f, g) := sup_x∊X |f(x)−g(x)|, tak definiujemy odległość między dwoma funkcjami W przypadku zwykłej zbieżności, takiej odległości byśmy nie zdefiniowali (to niemożliwe) ale w przypadku zbieżności jednostajnej, taka możliwość już jest to że f_n zbiega do f jednostajnie, znaczy dokładnie to samo co, d(f_n, f) dąży do zera Napisałem lim sup, może trochę się zagalopowałem, ale o co mi chodziło? Właśnie o tą zbieżność do zera. Tu, f_n(x) = 1+x²ⁿ⁺¹ oraz f(x) = 1, X = [0, 2/3] sup_x∊X |f_n(x)−f(x)| = ... łatwo obliczyć Popatrz się na ten ciąg, czy on zbiega do zera?

Adamm: Nie, ciągłość funkcji granicznej nie jest warunkiem koniecznym zbieżności jednostajnej. Twierdzenie jest takie, jeśli f_n dąży do f jednostajnie, a f_n są ciągłe, to f jest ciągłe. Ciągłość funkcji granicznej jest warunkiem koniecznym zbieżności jednostajnej, ale wtedy, kiedy sam ciąg składa się z funkcji ciągłych.

ICSP: Czy przypadkiem ciąg funkcyjny zbieżny punktowo do funkcji ciągłej na zbiorze zwartym nie będzie zbieżny jednostajnie wtedy gdy jest monotoniczny?

Adamm: https://en.wikipedia.org/wiki/Dini%27s_theorem

Adamm: i ciąg też musi być ciągły http://www.mathcounterexamples.net/counterexamples-around-dini-s-theorem/

Adamm: elementy ciągu muszą być ciągłe*