Ircyk: An=ⁿ√2ⁿ+1; Bn=((-2)ⁿ)/(1+(-2)ⁿ Cn=√n+8-√n+3 Dn=(1/(4¹+1))+(1/(4²+2))+...+(1/(4ⁿ+n)) En=(2+cos(n))/(3-2sin(n))

Ircyk: Zapomnialem dodać ze trzeba zbadac czy podane ciagi sa ograniczone z dolu lub z gory

Basia: 2ⁿ+1>2ⁿ ⇒ⁿ√2ⁿ+1>ⁿ√2ⁿ=2 dla kazdego n∈N A_n>2 czyli ciąg ograniczony z dołu dla k.n∈N i n≥1 2ⁿ+1<2ⁿ+2ⁿ=2*2ⁿ ⇒ ⁿ√2ⁿ+1<ⁿ√2*2ⁿ=2*ⁿ√2≤2*2=4 czyli z góry też jest ograniczony

Basia: pozostałe jak zdąże rozwiążę Ci wieczorem, do jakiej szkoły chodzisz, dość trudne masz te zadania jak na średnią, studiujesz?

Ircyk: te zadanka są z analizy matematycznej na Politechnice Wrocławskiej / dzięki

Ircyk: w sumie to ja mam przepisane z cwiczen to zadanie z rozwiazaniem jakos tak: 0≤a_n=ⁿ√2ⁿ+1≤ⁿ√3ⁿ=3 ?

Basia: to prawda, z dwumianu Newtona 3ⁿ=(2+1)ⁿ=(n nad 0)*2ⁿ*1⁰+(n nad 1)*2⁽n-1)*1¹+....+(n nad n)*2⁰*1ⁿ≥ 2ⁿ+1 (pierwszy i ostatni wyraz dwumianu; n nad 0=1; n nad n=1) i stąd wynik

Ircyk: więc które rozwiązanie jest dobre? Twoje czy...?

Basia: Oba, tylko moje ograniczenie jest słabsze, ale też dowodzi, że ciąg jest ograniczony z góry, to drugie jest mocniejsze i podaje najmniejszą liczbę ograniczającą ciąg z góry

Basia: B_n=(-2)ⁿ/[1+(-2)ⁿ] dzielimy licznik i mianownik przez (-2)ⁿ B_n=1/[1+1/(-2)ⁿ] dla n=2k (parzystych) (-2)ⁿ≥20 ⇒ 1+1/(-2)ⁿ≥1 ⇒B₂k≤1 dla n=2k+1 (nieparzystych) mamy: m₁=1-1/2=1/2 m₃=1-1/8=7/8 m₅=1-1/32=31/32 itd. m_2k+1≥1/2 czyli B_2k+1≤1/(1/2)=2 czyli B_n≤2 dla k.n∈N czyli jest ograniczony z góry z dołu też, bo 1/(-2)_n≤1/2 ⇒ 1+1/(-2)ⁿ≤1+1/2=3/2 czyli B_n≥2/3

Basia: a najlepiej podaj adres e-mail; napiszę Ci to w jakimś porządnym edytorze np.w texu i wyślę plik pdf, bo w tym edytorku sama nie bardzo bym zrozumiała to co napisałam

mmmm: ((−1)ⁿ)/(n²)

mmmm: mmmm ograniczony? i czy zbieżny do 0 (ten powyzej)