Kombinatoryka Mateo: Proszę o pomoc i wyjaśnienie zadania: Czterech pracowników ma przeprowadzić 15 owiec, ale każdy z nich powinien przeprowadzić co najmniej 3. Na ile sposobów pracownicy mogą wykonać zadanie, jeżeli owce są nierozróżnialne.

PW: x_j − liczba owiec przeprowadzonych przez pracownika oznaczonego numerem j. Pytają o liczbę rozwiązań równania x₁+x₂+x₃+x₄ = 15 przey założeniu x_j ≥ 3, j = 1, 2, 3, 4.

Mateo: PW twoje rozwiązanie to nie jest ilość sposobów w jaki mogą wykonać to zadanie.

PW: A co? (3, 5, 4, 3) to nie jest jeden ze sposobów? (pierwszy przeprowadził 3 owce, drugi 5, trzeci 4 i czwarty 3). To jest właśnie jedno z rozwiązań równania.

Mateo: To ile jest takich sposobów?

PW: Podstawmy x_j = a_j +3, a_j ≥ 0, wtedy równanie przyjmie postać a₁+3+a₂+3+a₃+3+a₄+3 = 15 a₁+a₂+a₃+a₄ = 3, a_j ≥ 0. Liczba rozwiązań tego równania w liczbach naturalnych jest określona gotowym wzorem (jeżeli uczysz się tzw. matematyki dyskretnej), albo możliwa do uzyskania na zasadzie "głowkowania" na ile sposobów można liczbę 3 przedstawić w postaci sumy czterech składników naturalnych z uwzględnieniem kolejności (do wymyślenia dla ucznia liceum).

Mateo: Nie za bardzo to rozumiem, mógłbyś/ mogłabyś podać ten gotowy wzór. Nie potrafię liczyć takich zadań stąd moje pytania, być może na twoim poziomie zwane "głupimi"

PW: Nie, dlaczego "głupim"? Napisz − jesteś uczniem liceum, czy studentem?

Mateo: studentem

PW: Znajdź w podręczniku wzór − odpowiedź na pytanie: − Na ile sposobów można umieścić n nierozróżnialnych przedmiotów w k pudełkach? Klasyczne zadanie: − Na ile sposobów można umieścić 16 jednakowych piłek w 4 pudełkach? W Twoim zadaniu jednym ze sposobów jest (1, 0, 2, 0) − rozmieszczamy 3 piłki w 4 pudełkach (w pierwszym 1 piłka, w trzecim 2 piłki, pozostałe pudełka są puste.

Mateo: Najpierw wszystkim rozdaję po 3 owce bo każdy musi mieć co najmniej 3. Później zostaje mi 3 owce (bo 15−3*4=3) które muszę rozdać na 4 osoby. czyli 4³=64. Odpowiedz wychodzi mi 64 sposoby. Czy ja dobrze to liczę?

Mila: x₁+x₂+x₃+x₄=15 x_i≥3 (x₁+3)+(x₂+3)+(x₃+3)+(x₄+3)=15⇔ x₁+x₂+x₃+x₄=3 Liczba rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych:

3+4−1 4−1		6 3		1
	=		=		*6*5*4=20
				6

Niuniek : Miła jest to błędne rozwiązanie, trzeba tu wykorzystać Stirlinga

Mila: Wyjaśnij dlaczego