Rozwiąż równanie różniczkowe Glina: Rozwiąż równanie różniczkowe: y"−4y=4x+6

Mariusz: Sposobów jest kilka Równanie charakterystyczne dla równania liniowego jednorodnego i przewidywanie dla części niejednorodnej Równanie charakterystyczne dla równania liniowego jednorodnego i uzmiennianie stałych dla części niejednorodnej Metoda operatorowa, użycie przekształcenia Laplace Przekształcenie równania różniczkowego liniowego w równoważny układ równań różniczkowych i rozwiązanie tego układu Rozwiązanie z użyciem szeregów potęgowych np metoda Frobeniusa Równanie różniczkowe liniowe jednorodne można też rozwiązać sprowadzając równanie różniczkowe do pierwszego rzędu y'' − 4y = 0 u(y)=y' u'(y)y'=y'' u'u = y'' 2y'' − 8y = 0 2uu'− 8y = 0 2udu=8ydy u²=4y²+C y'=±√4y²+C

dy
	=√4y2+C
dx

dy
	=dx
√4y2+C

√4y²+C=t − 2y 4y²+C=t²−4ty+4y² C=t²−4ty 4ty=t²−C

	t2−C
y=
	4t

	t2−C		4t2−2t2+2C
t−		=
	4t		4t

	t2+C
√4y2+C=
	2t

	2t*4t−4(t2−C)
dy=		dt
	16t2

	t2+C
dy=		dt
	4t2

	2t	t2+C		1		dt
∫			dt=		∫
	t2+C	4t2		2		t

	dy		1
∫		=		ln|2y+√4y2+C1|
	√4y2+C1		2

1
	ln|2y+√4y2+C1|=x+C2
2

ln|2y+√4y²+C₁|=2x+C₂ 2y+√4y²+C₁=C₂e^2x

	(2y+√4y2+C1)(2y−√4y2+C1)
2y+√4y2+C1=
	(2y−√4y2+C1)

	4y2−4y2−C1
2y+√4y2+C1=
	2y−√4y2+C1

	−C1
2y+√4y2+C1=
	2y−√4y2+C1

1		1
	=−		(2y−√4y2+C1)
2y+√4y2+C1		C1

−C1
	=(2y−√4y2+C1)
2y+√4y2+C1

2y+√4y²+C₁=C₂e^2x

	−C1
2y−√4y2+C1=
	C2e2x

2y+√4y²+C₁=C₂e^2x

	−C1
2y−√4y2+C1=		e−2x
	C2

	C1
4y=C2e2x−		e−2x
	C2

	1		1	C1
y=		C2e2x−			e−2x
	4		4	C2

	1
K2=		C2
	4

	1	C1
K1=−
	4	C2

zatem y(x)= K₁e^−2x+K₂e^2x y(x)=K₁(x)e^−2x+K₂(x)e^2x y'=K₁'(x)e^−2x−2K₁(x)e^−2x+K₂'(x)e^2x+2K₂(x)e^2x y'=e^−2x(K₁'(x)−2K₁(x))+e^2x(K₂'(x)+2K₂(x)) y''=−2e^−2x(K₁'(x)−2K₁(x))+e^−2x(K₁''(x)−2K₁'(x))+ 2e^2x(K₂'(x)+2K₂(x))+e^2x(K₂''(x)+2K₂'(x)) y''=e^−2x(−2K₁'(x)+4K₁(x)+K₁''(x)−2K₁'(x))+ e^2x(2K₂'(x)+4K₂(x)+K₂''(x)+2K₂'(x)) y''=e^−2x(K₁''(x)−4K₁'(x)+4K₁(x))+e^2x(K₂''(x)+4K₂'(x)+4K₂(x)) y''−4y=e^−2x(K₁''(x)−4K₁'(x)+4K₁(x)−4K₁(x))+ e^2x(K₂''(x)+4K₂'(x)+4K₂(x)−4K₂(x))=4x+6 K₁''(x)e^−2x−4K₁'(x)e^−2x+K₂''(x)e^2x+4K₂'(x)e^2x=4x+6 Niech K₁'(x)e^−2x+K₂'(x)e^2x=0 (K₁'(x)e^−2x+K₂'(x)e^2x)' K₁''(x)e^−2x−2K₁'(x)e^−2x+K₂''(x)e^−2x+2K₂'(x)e^2x e^−2x(K₁''(x)−2K₁'(x))+e^2x(K₂''(x)+2K₂'(x)) K₁''(x)e^−2x − 2K₁'(x)e^−2x − 2K₁'e^−2x + K₂''(x)e^2x+2K₂'(x)e^2x+2K₂'(x)e^2x=4x+6 K₁'(x)e^−2x+K₂'(x)e^2x=0 −2K₁'(x)e^−2x+2K₂'(x)e^2x=4x+6 K₁'(x)e^−2x=−K₂'(x)e^2x −2(−K₂'(x)e^2x)+2K₂'(x)e^2x=4x+6 4K₂'(x)e^2x=4x+6

	1
K2'(x)=		(2x+3)e−2x
	2

	1
K1'(x)=−		(2x+3)e2x
	2

	1		1
K1(x)=−		(2x+3)e2x+		∫e2xdx
	4		2

	1		1
K1(x)=−		(2x+3)e2x+		e2x
	4		4

	1
K1(x)=−		(2x+2)e2x
	4

	1
K1(x)=−		(x+1)e2x
	2

	1		1
K2(x)=−		(2x+3)e−2x+		∫e−2xdx
	4		2

	1		1
K2(x)=−		(2x+3)e−2x−		e−2x
	4		4

	1
K2(x)=−		(2x+4)e−2x
	4

	1
K2(x)=−		(x+2)e−2x
	2

y(x)=K₁(x)e^−2x+K₂(x)e^2x Całka szczególna równania niejednorodnego

	1		1
y(x)=−		(x+1)e2xe−2x−		(x+2)e−2xe2x
	2		2

	1
y(x)=−		(2x+3)
	2

Całka ogólna równania jednorodnego y(x)= K₁e^−2x+K₂e^2x Całka ogólna równania niejednorodnego (suma całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego)

	1
y(x)= K1e−2x+K2e2x−		(2x+3)
	2

Glina: O ezu dziekuje

V: na drugi raz pomyśl zanim zadasz pytanie