Orzeł i Reszka NieZdamSesji: Rzucamy n–krotnie monetą i wynik zapisujemy jako ciąg n symboli O lub R. Serią orłów nazywamy wypadnięcie trzech orłów pod rząd. Niech a_n oznacza liczbę wyników n–krotnego rzutu, które nie zawierają serii orłów. Znajdź i uzasadnij wzór rekurencyjny dla ciągu (a_n)^∞_{n = 0}.

jc: x_n, y_n, z_n = liczby ciągów kończących się ciągiem RR, OR (x_n), RO (y_n), OO (z_n). a_n=x_n+y_n+z_n x_n+1=a_n y_n+1=x_n z_n+1=y_n a_n+1=a_n+x_n+y_n=a_n+a_n−1+a_n−2 a₀=1, a₀=2, a₁=4, stąd a₃=7, a₄=13, ...

NieZdamSesji: Super! Dzikie Jeszcze gdybym mógł prosić o wytłumaczenie i uzasadnienie wzoru.

jc: Dzielisz wszystkie ciągi (bez OOO) wg końcówek. XXXR XXRO XXOO X może być równe O lub R. Liczby poszczególnych ciągów oznaczyłem literami x_n, y_n, z_n. Jak uzyskać XXXXR? Do ciągu dopisujemy R. Jak uzyskać XXXRO? Do ciągu pierwszego rodzaju dopisujemy O. Jak uzyskać XXXOO? Do ciągu drugiego rodzaju dopisujemy O Stąd wzory rekurencyjne dla.