Rozważ relację równoważności wowowo: Napotkałem takie zadanie − żadne z rozwiązań nie jest poprawne, jednak nie potrafię uzasadnić czemu. Rozważ relację równoważności r zdefiniowaną w zbiorze Z taką, że (x, y) ∈ r wttw 3|(x−y). Wówczas (a) [2] ∪ [−1] = Z, (b) [3] ∪ [5] = [−3], (c) [1] = [−1]. Czy nawiasy kwadratowe oznaczają w tym przypadku przedziały czy jednak coś innego (pierwszy raz spotykam się z jedną cyfrą w nawiasie kwadratowym)? Czy suma uogólniona dwóch takich liczb w kwadratowych nawiasach oznacza przedział domknięty pomiędzy tymi liczbami?

Pytający: Chodzi o klasy abstrakcji, wtedy: [2] = [−1] = [5] = {3k+2 : k∊ℤ} [3] = [−3] = {3k : k∊ℤ} [1] = {3k+1 : k∊ℤ} więc wszystkie podpunkty są nieprawdziwe.

wowowo: Dzięki, jednak wydaje mi się że nie zrozumiałem tego zapisu. Mógłbyś mi objaśnić dokładniej, albo gdzieś odesłać do zapoznania się z tym? 3k ponieważ dzielimy przez 3, ale czemu w pierwszym przykładzie dodane jest do tego 2, w drugim nic, a w trzecim 1? Co oznacza w tym przypadku znak ∪ oraz = w podpunktach?

Pytający: "Co oznacza w tym przypadku znak ∪ oraz = w podpunktach?" To samo co zwykle, czyli sumę zbiorów i równość. https://pl.wikipedia.org/wiki/Relacja_r%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9Bci#Klasy_abstrakcji_i_przestrze%C5%84_ilorazowa Klasy abstrakcji danej relacji równoważności to zbiory tych elementów, które są ze sobą w danej relacji. W podanej wyżej relacji klasami abstrakcji są zbiory liczb dających te samą resztę z dzielenia przez 3, bo przecież dla x=3k+r₁, y=3m+r₂ masz x−y=3(k−m)+(r₁−r₂), co jest podzielne przez 3 gdy r₁−r₂ jest podzielne przez 3, czyli gdy reszty są sobie równe, bo możliwe reszty z dzielenia przez 3 to oczywiście 0, 1, 2. Stąd są 3 klasy abstrakcji: [0]=[3]=[−3]=[369]={3k: k∊ℤ} // ={...,−6,−3,0,3,6,...} [1]=[4]=[−2]=[370]={3k+1: k∊ℤ} // ={...,−5,−2,1,4,7,...} [2]=[5]=[−1]=[371]={3k+2: k∊ℤ} // ={...,−4,−1,2,5,8,...} [2]∪[−1]={3k+2: k∊ℤ}∪{3k+2: k∊ℤ}={3k+2: k∊ℤ} [3]∪[5]={3k: k∊ℤ}∪{3k+2: k∊ℤ}