rekurencje marli: hej mam Wyznaczyc rozwiazania rekurencji: a) a_n+1 = 3a_n + 2n + 1, a0 = 0 nie wiem jak sie mam zabrać jesli jest a_n+1? mam lambdy 0 i 3 więc wzór ogólny to a_n = C1 * 3ⁿ ? chyba niee pomożecie?

marli: i b) a jaki tutaj mam dać wzór do częsci niejednorodnej jak mam potege n i i wielomian st pierwszego? c_n = 3c_n−1 − 2c_n−2 + 2ⁿ + n + 1

Mila: a_n+1=3a_n+2n+1 1) a_n=3a_n−1+2(n−1)+1 (*) a_n=3a_n−1+2n−1 a_n−3a_n−1=0 x−3=0 x=3 a_n⁽¹⁾=A*3ⁿ 2) a_n⁽²⁾=B*n+C Podstawiamy do (*) B*n+C=3*[B*(n−1)+C]+2n−1 B*n+C=3Bn−3B+3C+2n−1 −2Bn+(3B−2C)=2n−1 −2B=2⇔B=−1 3*(−1)−2C=−1 −2C=2 C=−1 a_n⁽²⁾=−n−1 =========== 3) a_n=A*3ⁿ−n−1 a₀=0=A*3⁰−1 A=1 a_n=3ⁿ−n−1 ============= Możesz za pomocą funkcji tworzącej. Mariusz napisze, jesli tu spojrzy.

Mila: Warunki początkowe masz do (b) ?

marli: nie do b ogólnie

marli: ale pięknie rozpisane a) dziękuję! <3

Mariusz: Nie bo to jest rozwiązanie równania jednorodnego Ja tam wolę funkcję tworzącą Tutaj zadziała też czynnik sumacyjny a_n+1 = 3a_n + 2n + 1, a0 = 0 a_n=3a_n−1+2n−1 , a0 = 0

	1
sn=		sn−1 ,
	3

	1
sn=		s0
	3n

	1
ansn=3an−1(		sn−1) +(2n−1)sn
	3

a_ns_n=a_n−1s_n−1+(2n−1)s_n U_n=a_ns_n U_n = U_n−1+(2n−1)s_n U_n = U₀+∑_k=1ⁿ(2k−1)s_k U_n = ∑_k=1ⁿ(2k−1)s_k

	1
an=		(∑k=1n(2k−1)sk)
	sn

	1
sn=		s0
	3n

co przy s₀=1 daje

	1
an=3n(∑k=1n(2k−1)(		)n)
	3

Aby obliczyć tę sumę przydatne będzie sumowanie przez części

	1		1
∑k=1n(2k−1)(		)n=1+∑k=0n(2k−1)(		)n
	3		3

(2(x+1)−1)−(2x−1)=(2x+1)−(2x−1)=2

	1		3		1		3		1
∑(2x−1)(		)xδx=−		(2x−1)(		)x−∑2(−		)(		)x+1δx
	3		2		3		2		3

	1		3		1		1
∑(2x−1)(		)xδx=−		(2x−1)(		)x+∑(		)xδx
	3		2		3		3

	1		3		1		3		1
∑(2x−1)(		)xδx=−		(2x−1)(		)x−		(		)x
	3		2		3		2		3

	1		3		1
∑(2x−1)(		)xδx=−		(2x−1+1)(		)x
	3		2		3

	1		1
∑(2x−1)(		)xδx=−3x(		)x
	3		3

	1		1
∑k=0n(2k−1)(		)k=−3(n+1)(		)n+1−0
	3		3

	1		1
∑k=0n(2k−1)(		)k=−(n+1)(		)n
	3		3

	1		1
∑k=1n(2k−1)(		)k=1−(n+1)(		)n
	3		3

	1
an=3n(1−(n+1)(		)n)
	3

a_n=3ⁿ−(n+1)

marli: nawet tak myślałam z tym a ale nie wiedziałam ze tak moge sobie zamienić

marli: super wytłumaczone dziękuję odnośnie b) mam ogon (cz niejednorodna) jakoś dzielić na częsci? czy jak to wyliczyć?

Mariusz: c_n = 3c_n−1 − 2c_n−2 + 2ⁿ + n + 1 C(x)=∑_n=0^∞c_nxⁿ ∑_n=2^∞c_nxⁿ=∑_n=2^∞3c_n−1xⁿ−∑_n=2^∞2c_n−2xⁿ +∑_n=2^∞2ⁿxⁿ+∑_n=2(n+1)xⁿ ∑_n=2^∞c_nxⁿ=3x(∑_n=2^∞c_n−1xⁿ⁻¹)−2x²(∑_n=2^∞c_n−2xⁿ⁻²)

	4x2
+		+∑n=0∞(n+1)xn−1−x
	1−2x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

∑_n=2^∞c_nxⁿ=3x(∑_n=2^∞c_n−1xⁿ⁻¹)−2x²(∑_n=2^∞c_n−2xⁿ⁻²)

	4x2		1
+		+		−1−x
	1−2x		(1−x)2

∑_n=2^∞c_nxⁿ=3x(∑_n=1^∞c_nxⁿ)−2x²(∑_n=0^∞c_nxⁿ)

	4x2		1
+		+		−1−x
	1−2x		(1−x)2

∑_n=0^∞c_nxⁿ−c₀−c₁x=3x(∑_n=0^∞c_nxⁿ−c₀)−2x²(∑_n=0^∞c_nxⁿ)

	4x2		1
+		+		−1−x
	1−2x		(1−x)2

	4x2		1
C(x)(1−3x+2x2)=(c0−1)+(c1−3c0−1)x+		+
	1−2x		(1−x)2

	4x2		1
C(x)(1−x−2x+2x2)=(c0−1)+(c1−3c0−1)x+		+
	1−2x		(1−x)2

	4x2		1
C(x)(1−x)(1−2x)=(c0−1)+(c1−3c0−1)x+		+
	1−2x		(1−x)2

	(c0−1)+(c1−3c0−1)x		4x2		1
C(x)=		+		+
	(1−x)(1−2x)		(1−x)(1−2x)2		(1−2x)(1−x)3

Teraz wystarczy funkcję tworzącą rozwinąć w szereg Można skorzystać z szeregów geometrycznych i ich pochodnych

	A		B		C		D
C(x)=		+		+		+
	1−x		(1−x)2		(1−x)3		1−2x

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)xn)=		(		)
dx		dx		(1−x)2

	−2
∑n=0∞(n+1)nxn−1=		(−1)
	(1−x)3

	2
∑n=1∞(n+1)nxn−1=
	(1−x)3

	2
∑n=0∞(n+2)(n+1)xn=
	(1−x)3

marli: Dziękuję Mariusz możesz mi tylko odpowiedzieć jak mam traktować ten ogon? jeśli chciałabym policzyć sposobem Milii?

Mariusz: Z tym przewidywaniem to trochę zgadywanie Tutaj zarówno dwójka jak i jedynka są pierwiastkami równania charakterystycznego więc jeśli koniecznie chcesz przewidywać lub ten sposób masz narzucony to dla części z 2ⁿ przewidujesz a_s1=An2ⁿ dla części z wielomianem przewidujesz a_s2=n(Bn+C) Aby uzyskać rozwiązanie szczególne równania rekurencyjnego korzystasz z superpozycji czyli przewidywania sumujesz W równaniach różniczkowych wolę uzmiennianie stałych niż przewidywanie Tak na marginesie dodam że dla równań rekurencyjnych też istnieje metoda zbliżona do uzmienniania stałych Równanie jednorodne zapisujesz w postaci układu równań i rozwiązujesz obliczając potęgę macierzy używając metod poznanych na algebrze Rozwiązanie równania jednorodnego daje ci układ fundamentalny równania Uzmiennianie stałych dla równań rekurencyjnych wygląda podobnie jak dla równań różniczkowych z tym że zamiast wrońskianu mamy casoratian a zamiast całkować sumujemy

Mila: Rozwiąż równanie rekurencyjne c_n = 3c_n−1 − 2c{n−2} + 2ⁿ + n + 1 c_n−3c_n−1+2c_n−2=0 x²−3x+2=0 x=1 lub x=2 c_n⁽¹⁾=A+B*2ⁿ c_n⁽²⁾=C*n*2ⁿ+Dn+E spróbuj tak.

marli: dzięki