Całki podstawienie Danioh: Witam, czy to konkretne podstawienie jest prawidłowe dla tych całek? 1. e^xdx/(1+e^x) ? t=e^x dt=e^xdx ? daje wynik = 1/√e^xarctg x/√e^x 2. 1dx/x*lnx*ln(lnx) ? t=lnx dt=1dx/x ? daje wynik = 1/2ln(lnx)² wydaje mi się że jest dobre ponieważ można zastąpić wtedy wszystkie x podstawieniem, ale nie mogę znaleźć odpowiedzi na moje pytanie w internecie, jest tylko inne podstawienie. Z góry dziękuje za pomoc.

Bleee: 1) fatalne podstawienie t = 1 + e^x 2) w liczniku jest tylko x? Czy może (x*lnx)? Jeżeli druga wersja to t = ln(lnx)

Bleee: Przy okazji − pokaż jak liczyłes te całki przy takich podstawieniach. Szczególnie druga

Mariusz:

	ex
∫		dx
	1+ex

t=1+e^x dt=e^xdx

	dt
∫		=ln|t|+C
	t

	ex
∫		=ln(1+ex)+C
	1+ex

/* Mogliśmy opuścić wartość bezwzględną bo ∀x∊ℛ 1+e^x > 0 */ więc twój wynik jest błędny choć zaproponowane podstawienie dobre

	dx
∫
	xln(x)ln(ln(x))

t=ln(ln(x))

	1	1
dt=			dx
	ln(x)	x

	dt
∫		=ln(t)+C
	t

	dx
∫		=ln|ln|ln|x|||+C
	xln(x)ln(ln(x))

więc twój wynik jest błędny Zaproponowane podstawienie jest dobre choć będzie wymagało kolejnego podstawienia

Bleee: Mariusz − trudno mówić o 'dobrym podstawieniu' jeżeli ono mu nic nie daje (patrz pierwsza całka) A w drugiej calce, to podstawienie które będzie jeszcze potrzebne jest dokładnie tym jakie Ty zrobiłeś.

Danioh: 1. https://ifotos.pl/z/qswqnws (tutaj wynik wychodzi mi jednak arctg e^x) Już zrozumiałem że lepiej podstawić 1+e^x bo ta jedynka i tak zniknie przy liczeniu pochodnej, ale zastanawiam się czy tak też mógłbym to policzyć. 2. https://ifotos.pl/z/qswqnwe (w liczniku jest tylko sama 1)

Blee: Druga całka −−− błąd przy drugim podstawieniu

	1		1		1
∫		dt = // u = lnt ; du =		dt // = ∫		du
	tlnt		t		u

A drugi błąd to: już błąd przy przepisywaniu tutaj na forum: (ln (lnx))² = ln²(lnx) ≠ ln(lnx)² a zapisałeś to ostatnie

Blee: Pierwsza całka

	1
∫		dt ≠ arctg t + C
	1+t

	1
∫		dt = arctg t + C
	1+t2

Blee: I znowu −−− popatrz co napisałeś na forum a co masz w zapiskach (chodzi o już sam wynik)

Blee: I jeszcze do pierwszej całki widząc wynik na forum w którym masz √e^x to myślałem własnie że próbowałeś to rozwiązać na zasadzie:

	1		1
∫		dt = ∫		dt i tutaj stosować w/w wzór (ale to nie jest takie proste
	1+t		1+(√t)2

bo znowu pakuje Ci się pochodna z √t )

Mariusz: Zapis byłby bardziej czytelny gdyby użył litery U dla ułamka bo na dobrą sprawę to przy takim zapisie całka powinna być zinterpretowany tak

	ln(x)ln(ln(x))
∫		dx
	x

t=ln(x)

	1
dt=		dx
	x

∫tln(t)dt i tutaj potrzebne jest całkowanie przez części chyba że znamy niezupełną funkcję Γ

Danioh: Dzięki bardzo za pomoc, mój pierwszy post muszę poćwiczyć zapisywanie na forum przykładów. Wracając do całek czy po poprawieniu błędów jest możliwy mój wynik.

	dx
1 całka. Nie rozumiem dlaczego nie mogę zastosować wzoru na ∫		i wtedy a=√t
	x2+a2

2 całka. to idac moi 1 podstawieniem i drugim można to rozwiązać? wynik wtedy wychodzi =ln|ln(lnx)|

Blee: 1) po pierwsze to x = √t (w prezentowanym wzorze 'a' jest stałą) po drugie:

	1		1
∫		dt = // s = √t ; ds =		dt ⇔ s ds = dt // =
	1+t		√t

	s
= ∫		ds i tego nie sprowadzisz do tego wzoru co chcesz tylko zrobisz
	1 + s2

podstawienie: u = 1 + s² co sprowadza Ciebie do tego co wcześniej prezentowaliśmy możesz też próbować taką całkę 'jechać' przez części −−− ale już po pierwszym kroku raczej uznasz że jest to bez sensu (bo ile wynosi ∫ arctg(s) ds ) po trzecie − podstawienie x = √t 'ogranicza' Ci x .... wcześniej x ≠ −1 ... po podstawieniu zakładasz, że x > 0 jasne ... przy liczeniu całki rzadko się na to zwraca uwagę − a to błąd

Blee: 2) co do drugiej całki i Twojego podstawienia

	dx		dx		dt
∫		= // t = lnx ; dt =		// = ∫		=
	x*lnx * ln(lnx)		x		t*lnt

i oczywiście ... z tej formy możesz policzyć dalej całkę robiąc kolejne podstawienie:

	dt
// s = lnt ; ds =		//
	t

	ds
= ∫		= lns + C = ln(lnt) + C = ln( |ln(lnx)| ) + C
	s

tylko jeden moduł zostać ponieważ wyjściowa całka daje nam: x ≠ 0 x > 0 lnx > 0 −> x > 1

Blee: I NAJWAŻNIEJSZE Nie zapominaj o + C w całkach nieoznaczonych

jc: Najmniej ważne.

Blee: Co do drugiej całki zauważ, że robiąc podstawienie: t = lnx a następnie s = lnt robisz de facto podstawienie s = ln(lnx) czyli takie jakie prezentowaliśmy na samym początku. Tak więc − robisz to samo, tylko dzielisz to na dwa kroki.

Blee: jc nie jest najmniej ważne ... bo później przychodzi ktoś na forum, że mu wyszedł inny wynik całki niż w książce, a po przekształceniach okazuje się, że obie postacie różnią się po prostu o stałą

Blee: Dodatkowo jest to 'najgłupszy' błąd jaki można zrobić, a dający pretekst prowadzącemu do uwalenia studenta (gdyby tylko tego chciał prowadzący).

Jerzy: Oczwiście,że ważne.Sama nazwa całka nieoznaczona oznacza rodzinę funkcji pierwotnych,a nie konkretną funkcję.

Danioh: Dalej trochę nie rozumiem tej 1 całki czy mogę użyć podstawienia t=e^x zamiast t=e^x+1, pewnie nie rozumiemy się temu ze ciągle gdzie robię błąd. Wiem że jak podstawie t=e^x+1 nie ma tego problemu, tylko jak ją rozwiązywałem to jakoś podstawiłem t=e^x i mi wszystko pasowało. Ja podczas tej całki używam tylko jednego podstawienia następnie stosuje wzór. (w nim jest x² ja w moim równaniu mam t bez kwadratu, dlatego w wyniku daje t pod pierwiastek (czy nie moge tak? czy wystarczy ze dam założenia i bedzie dobrze?). Wrzucam chyba teraz już dobrze jeszcze raz. https://ifotos.pl/z/qswqqrw sory ze tak mecze tą jedną całkę, ale zastanawiam się jakbym sie jakoś tak zakręcił że zrobił takie podstawienie na egzaminie, a nie takie jak jest w rozwiązaniu czy mam również dobrze.

jc: Oczywiście, że możesz podstawić t=e^x.

	dt
Wtedy otrzymasz całkę ∫		= ln|1+t|.
	1+t

	ex dx
Więcej, w całce ∫		takie podstawienie byłoby bardziej oczywiste.
	e2x + 3ex + 2

Bleee: Tak... Możesz zrobić podstawienie t = e^x Nie... Nie możesz skorzystać ze wzoru na arctgx Spójrz co napisałem o 11:34 Aby skorzystać ze wzoru musisz mieć taką postać jak we wzorze więc w liczniku NIE MOZE być po prostu 1 + (√t)² Tylko 1 + s² więc musisz zrobić jeszcze jedno podstawienie (tak jak pokazałem) ale wtedy wskakuje Ci s do mianownika i znowu nie możesz skorzystać z tego wzoru.

Bleee:

	1
Albo jak wolisz.... Policz pochodną z y = arctg(√t) i zobacz czy wyjdzie Ci
	1+t