Macierz rzutu WhiskeyTaster: Chcę wiedzieć, czy dobrze wszystko rozumiem: Napisz macierz rzutu ortogonalnego na podprzestrzeń R⁴ zadaną równaniem x₁ − 2x₂ + x₃ − 3x₄ = 0 w bazie standardowej. No więc najpierw szukam tej podprzestrzeni rozwiązując równanie. Dostaję przestrzeń o wymiarze 3, a następnie szukam jej ortogonalnej bazy. Po wyznaczeniu bazy tworzę przekształcenie F: R⁴ → R⁴, F(v) = p_W(v), gdzie W jest podprzestrzenią zadaną równaniem, a samo p_W(v) to rzut wektora v na podprzestrzeń W. Następnie wyznaczam F(v₁) i tak dalej, gdzie v₁, .., v₄ tworzą bazę R⁴. Potem tworzę macierz m^B_B(F). Dobrze to rozumiem?

jc: u = (1, −2, 1, −3) wektor prostopadły do podprzestrzeni.

	u*v
v → v −		u rzut na podprzestrzeń
	u2

jc: u²=15

	1
(a,b,c,d) →(a,b,c,d) −		(a−2b+c−3d)
	15

macierz 1−1/15 2/15 −1/15 3/15 −1/15 1+2/15 −1/15 3/15 −1/15 2/15 1−1/15 3/15 −1/15 2/15 −1/15 1−3/15

jc: Oj, coś mi umknęło.

	a−2b+c−3d
(a,b,c,d) →(a,b,c,d) −		(1, −2, 1, −3)
	15

Macierz 1−1/15 2/15 −1/15 3/15 2/15 1−4/15 2/15 −6/15 −1/15 2/15 1−1/15 3/15 3/15 −6/15 3/15 1+9/15

jc: ostatni wyraz 1−9/15 (3 minusy dają minus)

WhiskeyTaster: Hm, chyba nie rozumiem tu czegoś. Wydawało mi się, że rzutem wektora na podprzestrzeń jest suma p_W(v) = ∑_i=1ⁿ p_ei(v). Z kolei wiem, że v − p_W(v) jest prostopadłe do p_W(v). Mógłbyś więc mi wytłumaczyć, gdzie mam błąd w rozumowaniu?

jc: Twoja 3 wymiarowa podprzestrzeń jest prostopadła do wektora u. Każdy wektor v możesz zapisać w postaci sumy: v=au+w, gdzie w należy do podprzestrzeni: u*w=0.

	v*u		u*v
Dlatego v*u=au2, a=		, w=v−au = v −		u.
	u2		u2

Jeszcze inaczej: od wektora v odejmujesz rzut wektora v na kierunek u.

WhiskeyTaster: Wydaje mi się, że rozumiem. Suma prosta tych dwóch przestrzeni tworzy R⁴. Tak więc wektor v można zapisać jako sumę dwóch wektorów z tych przestrzeni: v = au + w. Tylko w tym wypadku Ty rzutujesz przestrzeń trójwymiarową na tę jednowymiarową, prawda? Świadczy o tym fakt, że zapisujesz v = au + w, to jest bierzesz rzut na u oraz wektor w z przestrzeni trójwymiarowej. Tak jest po prostu prościej, zgadza się?

jc: Tak.

WhiskeyTaster: W porządku, już mi to ładnie tu rozjaśniłeś tym rozwiązaniem. Dziękuję, jc.