Matma.dyskretna Nowak: Dla każdych x,y E R jezeli x<y to istnieje z E R takie ze x<z<y (udpwodnij lub pokaz kontrprzyklad)

Blee: może ... tak trudno poświęcić chwilę czasu i odnaleźć odpowiednie symbole ∀_{x,y ∊ R} ∃_{z ∊ R} (x < y) ⇒ (x < z < y) zauważ, że:

	2x		x+x		x+y
x =		=		<
	2		2		2

oraz:

	2y		y + y		x+y
y =		=		>
	2		2		2

skorzystaj z tego w swoim dowodzie (czyli odpowiednio 'go ubierz' )

Seba: Cholera a zdołasz mi to ubrać bo głowie sie od wczoraj nad tym przykładem...

Blee: nie ... nie ubiorę Ci tego ... chociaż odrobinę wysiłku musi wyjść z Twojej strony.

	x+y
Pokazałem Ci w jaki sposób pokazać, że istnieje liczba z =		taka, że będzie spełniać
	2

warunek x<z<y To jest praktycznie WSZYSTKO co musisz zrobić

Seba: mam podstawic?

ICSP: Zacznij od zrozumienia treści zadania i tego o co w niej proszą.

Seba: Musze udowodnić

Grzybica Śluzówki Odbytu: tragedia z używaniem języka matematycznego wśród młodego pokolenia ustalmy x,y∊R takie że x<y należy wskazać z∊R takie że x<z<y

	x+y
konstrukcja z : określamy z=		− jest to liczba rzeczywista
	2

	x+y		2x		y−x
wówczas mamy z−x=		−		=		>0 (gdyż x<y) , a więc x<z
	2		2		2

	2y		x+y		y−x
analogicznie y−z=		−		=		>0 , więc z<y
	2		2		2

zatem (a w starych książkach przeto ) tak określone z spełnia nierówność x<z<y CND PS. W wypadku bardzo upierdliwego wykładowcy dowód powyższy należy jeszcze uściślić

Adamm: A teraz, wykaż że istnieje taka liczba wymierna

PW: Koledzy wypowiadający się wyżej zakładają istnienie średniej arytmetycznej dowolnych dwóch liczb. Moim zdaniem w ukryty sposób korzystają z tezy, którą mają udowodnić. Temat jest trudny (zależy co zgłębia Nowak). Należałoby przeczytać np. w Wikipedii artykuł Aksjomaty i konstrukcje liczb. W aksjomatyce Tarskiego jest to po prostu aksjomat.

Blee: PW jedyne z czego skorzystałem to z x<y

	2x		x+x		x+y
x =		=		<
	2		2		2

wskaż mi miejsce gdzie korzystam z tezy

PW: Już napisałem − zakładasz istnienie takiej liczby, która leży w połowie między x i y. Aby mieć taką pewność należy powołać się na teorię (jaką konstrukcję liczb rzeczywistych przyjmujemy). Przecież pojęcie liczby rzeczywistej nie jest ani oczywiste, ani intuicyjne. Odpowiadając na postawione pytanie należy najpierw odpowiedzieć sobie na pytanie − czym jest liczba rzeczywista i jakie przyjmujemy aksjomaty o działaniach na liczbach, które mogą stanowić podstawę do dowodu (lub tak jak napisałem − stwierdzenia, że jest to jeden z aksjomatów).

Grzybica Śluzówki Odbytu:

	x+y
ciało liczb rzeczywistych przyjmujemy za spadnięte z nieba więc napis		ma sens
	2

Adamm: Masz rację PW. Niech np. R będzie zdefiniowane jako R − klasy równoważności wymiernych ciągów Cauchy'ego, względem relacji ~, gdzie (x_n)_n∊N ~ (y_n)_n∊N wtw kiedy (x_n−y_n)_n∊N jest ciągiem zbieżnym do zera (ciąg Cauchy'ego tutaj znaczy, ∀_{ε∊Q, ε>0} ∃_N ∀_{n, m>N} |x_n−x_m|<ε) Ta definicja jest w tym sensie lepsza, że bardziej intuicyjna. [(x_n)_n∊N]+[(y_n)_n∊N] := [(x_n+y_n)_n∊N] [(x_n)_n∊N][(y_n)_n∊N] := [(x_ny_n)_n∊N] I niech [(x_n)_n∊N]<[(y_n)_n∊N] ⇔ ∃_N ∀_n>N x_n<y_n

	xn+yn
Wtedy jeśli x = [(xn)n∊N]<[(yn)n∊N] = y, to (		)n∊N jest ciągiem
	2

	xn+yn
Cauchy'ego, i x<z<y gdzie z = [(		)n∊N].
	2

Adamm: Trudniej byłoby udowodnić że istnieje taka liczba wymierna, co polecam autorowi jako zadanie. Funkcja podłoga się przyda.

jc: Adamm, myślę, że przydałby się aksjomat Archimedesa.

Grzybica Śluzówki Odbytu: jc masz na myśli dowód który mógłby zaczynać się jakoś tak?

	1
Niech x,y∊R i x<y. Bierzemy takie n ∊N, żeby n>		(takie n oczywiście istnieje
	y−x

	1
).Czyli y−x>		.
	n

Z własności części całkowitej [nx]≤nx<[nx]+1

[nx]		[nx]+1
	≤x<
n		n

Czytelnik łatwo dokończy

Adamm: Zmień nick. Jest pewna etykieta którą się powinno kierować. Co może być akceptowalne np. w szpitalu, tutaj być nie musi.