... Ania: Wyznacz macierz odwzorowania f:R₂[x]−−−>R₁[x], w(x)l−−−>w'(x) w bazach B(R₂[x])=(x²,x,1) i B(R₁[x])=(x,1) w bazie 2x²+x, x²+3, 3x−2. Z góry dziękuję.

WhiskeyTaster: Czy ta treść ma sens? Wyznaczanie macierzy przekształcenia w bazie B w C ma sens. Ale wyznaczanie macierzy w tych bazach w innej bazie?

Kasia: Wyznacz macierz odwzorowania f:R2[x]−−−>R1[x], w(x)l−−−>w'(x) w bazach B(R2[x])=(x2,x,1) i B(R1[x])=(x,1) Tak powinno być, bo to 2 to podpunkt b, przepraszam 🙏

WhiskeyTaster: O widzisz, lepiej. F: R₂[x] → R₁[x], F(P) = P'(x) B = (x², x, 1), C = (x, 1). Macierz przekształcenia z bazy B w bazę C to macierz postaci m^B_C(F) = ([F(b₁)]_c, [F(b₂)]_c, [F(b₃)]_c), gdzie b₁, b₂, b₃ to wektory z bazy B.

	2 0		0 1
F(x2) = 2x, F(x) = 1, F(1) = 0, więc [F(x2)]c =		, [F(x)]c =		,

	0 0		2 0 0 0 1 0
[F(1)]c =		. Wobec tego macierz mBC(F) =		.

Sprawdźmy to sobie. Weźmy wielomian x² + 2x + 1 i wsadźmy go do naszego przekształcenia. Wówczas F(x² + 2x + 1) = 2x + 2. Teraz zapiszmy wektor w bazie B. Otrzymamy wektor [1, 2, 1]

	2 0 0 0 1 0		2 2
Pomnóżmy wektor przez macierz:		*[1, 2, 1] =		. Otrzymaliśmy współrzędne z

bazy C, więc wynik to 2*x + 2*1 = 2x + 2. Wszystko się zgadza.

Ania: Dziękuję. A ten podpunkt b) wyznacz macierz tego samego odwzorowania w bazie: 2x²+x, x²+3, 3x−2 Da się to wykonać?

WhiskeyTaster: Trochę to dla mnie niezrozumiałe i szczerze, to nie wiem, jak to zrobić, o ile jest to możliwe. Bo jak wyznaczyć macierz tego samego odwzorowania w jednej bazie? W sensie, jest to możliwe, bo istnieje macierz m^D_D(F), gdzie D = (2x² + x, x² + 3, 3x − 2), ale wtedy D byłaby również bazą przeciwdziedziny, co w naszym przypadku jest niemożliwe ze względu na to, że przeciwdziedzina jest zbiorem wielomianów o stopniu co najwyżej 1. Dobrze, jakby ktoś bardziej inny się jeszcze w tym temacie wypowiedział.