Granice Bai Qian : Prosze o wytlumaczenie takich granic (jak je wyprowadzic)

	n
1) lim n→∞		=e
	n√n!

	n		e
2) lim n→∞		=
	n√(n+1)(n+2).....2n		4

dziekuje

proszę: a w podręcznikach i zbiorach zadań źle tłumaczą ?

Adamm: dla a_n>0 lim ⁿ√a_n = lim a_n+1/a_n o ile ta druga granica istnieje i jest skończona 1)

	n		(n+1)n+1/(n+1)!		1
lim		= lim		= lim (1+		)n = e
	n√n!		nn/n!		n

2)

	(n+1)!(n+1)n+1/(2n+2)!		1		(n+1)2		e
lim		=lim (1+		)n		=
	n!nn/(2n)!		n		(2n+1)(2n+2)		4

Bai Qian : Do proszę Nie jestem odporny na wiedze . Jesli byloby wytlumaczone w podreczniku z ktorego korzystam to nie zawracalbym tutaj gitary. Ta zlosliwosc nie byla potrzebna . Adamm dzieki wielkie . Xiexie

Blee: Bai Qian szczerze mówiąc, to dziwię się że przyjąłeś wyjaśnienie Adamma (pomimo że w pełni poprawne) bez najpierwszego problemu. Bo w końcu −−− skąd wiesz, że

	an+1
lim n√an = lim		dla an>0 (o ile ta druga granica istnieje)
	an

Bai Qian : Blee Masz racje .czasmi tez sam sobie sie dziwię . czy to twierdzenie Stolza?

Adamm: Nie do końca, ale można je za pomocą twierdzenia Stolza wyprowadzić. Proponuję to zapamiętać jako ogólną regułę.

Bai Qian : Dobrze .

proszę: nie tylko jesteś odporny co leniwy, jak nie ma w jednym to sie zagląda do drugiego, trzeciego..

Adamm: to nie jest praca doktorska

Bai Qian : Kolego /kolezanko nie znasz mnie to tak delikatnie powiem Ci . odpier......l sie ode mnie . ja ciebie nie obrazam ,ty mnie tak

Blee: 'proszę' akurat te granice nie są takie oczywiste i korzysta się z twierdzenia, o którym większość nie miała pojęcia, więc poluzuj gatki

Takie Tam: Można też skorzystać z przybliżonej wartości silni: n! = e^ln(n!) ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ln(3) + ... + ln(n) = ∑_k=2..n ln(k) Ponieważ funkcja ln(k) jest rosnąca, to: ∫_1..n lnxdx ≤ ∑_k=2..n ln(k) ≤ ∫_2..n+1 lnxdx A ≤ ∑_k=2..n ln(k) ≤ B A = ∫_1..n lnxdx = [xlnx − x]_1..n = nln(n) − n − 1 B = ∫_2..n+1 lnxdx = [xlnx − x]_2..n+1 = (n+1)ln(n+1) − (n+1) − ln4 + 2

	(eln(n))n		1		n
eA =		*e−1 =		(		)n
	en		e		e

	(n+1)n+1		e2		n+1
eB =		*e−ln4+2 =		(		)n+1
	en+1		4		e

A zatem:

	1		n		e2		n+1
		(		)n ≤ n! ≤		(		)n+1
	e		e		4		e

I teraz można już dość łatwo policzyć te granice.

Bai Qian : Blee Ksiazka ktora teraz czytam to W.L Danilow , A.R. Janpolski i spolka Funkcje,granice ,szeregi i ulamki lancuchowe Warszawa 1970 . Myslalem ze bedzie podobna do innej Janpolski i spolka Pochodne i calki gdzie twierdzenia byly podawane bez dowodow ale bylo duzo przykladow rozwiazanych Tutaj jednk jest inaczej (chociaz dopiero zaczalem czytac ). Na razie prawie nie ma rozwiazanych przykladow z granic . Dlatego dobrze jest zapytac madrzejszych od siebie (w sensie zapytac ludzi ktorzy maja wieksze w tym dosiadczenie )

Bai Qian : Xiexie(dziekuje Takie Tam