liczby zespolone, wyznacz zbiór liczb zpełniających warunek TiReX: wyznacz i zaznacz na płaszczyźnie zbiór wszystkich z spełniających warunek: |z|+|z−2j|=2, gdzie z to liczba zespolona

Adamm:

Adamm: równość w nierówności Minkowskiego z = 2j−λz, λ≥0 lub z = 0

	2
z =		j lub z = 0
	1+λ

z = tj, t∊[0, 2]

TiReX: Ale w takim razie jak z przykładem |z+j|+|z−j|=4 , odległość tego odcinka nie będzie równa 4 przecież tylko 2 ? Albo jak by był jakiś przykład gdzie by było odejmowanie między modułami? |z−j|−|z+j|=4 ?

PW: |z+j| to odległość punktu z = (x, y) od punktu −j= (0, −1). |z−j| to odległość od punktu (x, y) do punktu (0, 1). Suma tych odległości jest stała (równa 4). Rysowanie elipsy "metodą ogrodnika".

Mila: |z+j|+|z−j|=4 − elipsa A=(0,−1), B=(0,1)− ogniska |AB|=2 − odległość ogniskowa 2c=2, c=1 2b=4, b=2 c²=b²−a² 1=4−a², a²=3

x2		y2
	+		=1
a2		b2

x2		y2
	+		=1
3		4

zbiór punktów płaszczyzny− elipsa. II sposób z=x+iy, gdzie x,y ∊R √x²+(y+1)²+√(x²+(y−1)²=4

TiReX: To ja już nie bardzo rozumiem, czy elipsa, czy odcinek, można by bardziej łopatologicznie, jak dla debila, bardzo proszę?

Mila: W przypadku sumy modułów ( liczby zespolone): 1) W pierwszym przypadku: |z|+|z−2j|=2 A=(0,0), B=(0,2) ( rysunek Adamma |AB|=2=2 Równanie opisuje zbiór punktów P(x,y) takich , że suma odległości |AP|+|PB|=2⇔|AB|=2 − szukanym zbiorem jest odcinek AB ( Jeżeli P leżałby poza tym odcinkiem, to z nierówności Δ : |AP|+|PB|>2 ) 2) |z+j|+|z−j|=4 |AB|=2 <4 −elipsa ( przypomnij sobie definicję elipsy) Równanie opisuje zbiór punktów P(x,y) , takich że |AP|+|BP|=4 √x²+(y+1)²+√x²+(y−1)²=4 √x²+(y+1)²=4−√x²+(y−1)² /² x²+y²+2y+1=16−8√x²+(y−1)²+x²+y²−2y+1 2y=16−2y−8√x²+y²−2y+1 4−y=2√x²+y²−2y+1 / ² ( y<4) 16−8y+y²=4(x²+y²−2y+1) 16−8y+y²=4x²+4y²−8y+4 4x²+3y²=12 /:12

x2		y2
	+		=1 równanie elipsy
3		4

=========================

Adamm: |z|+|2j−z| = |z+(2j−z)| nierówność trójkąta to specjalny przypadek nierówności Minkowskiego skorzystałem z tego, że równość w nierówności Minkowskiego zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy wektory są liniowo zależne z nieujemnym parametrem i. e. |z₁|+|z₂| = |z₁+z₂| wtedy i tylko wtedy gdy z₂ = λz₁ lub z₁ = 0 gdzie λ≥0