Z góry dzięki za pomoc
michal cynarski: Niech a,b,c oznaczają długości boków pewnego trójkąta. Czy równanie b2x2+(b2+c2−a2)x+c2=0
ma pierwiastki rzeczywiste
12 sie 09:05
Blee:
czyli musi zajść:
Δ = (b
2+c
2−a
2)
2 − 4b
2c
2 ≥ 0
(b
2+c
2−a
2)
2 − 4b
2c
2 = (b
2+c
2−a
2 − 4bc)(b
2+c
2−a
2 + 4bc) =
= ((b−c)
2 − a
2 − 2bc)(b
2+c
2−a
2 + 4bc) =
= ((b−c−a)(b+a−c) − 2bc)(b
2+c
2−a
2 + 4bc) ≥ 0
z nierówności trójkąta wiemy, że:
b < c+a ... więc b − c − a < 0
c < b + a ... więc b + a − c > 0
czyli (b−c−a)(b+a−c) < 0
czyli (b−c−a)(b+a−c) − 2bc < 0
więc to będzie możliwe, jeżeli b
2+c
2−a
2 + 4bc ≤ 0
czy to może mieć miejsce
12 sie 09:21
Eta:
W drugim wierszu: (......−2bc)(.....+2bc)
12 sie 14:39
Blee:
a faktycznie ... no to sprawa mocno ułatwiona w takim razie
b2 + c2 − a2 − 2bc = (b−c)2 − a2 = (b−c−a)(b+a−c)
b2 + c2 − a2 + 2bc = (b+c)2 − a2 = (b+c−a)(b+c+a)
trzy nierówności trójkąta i wyciągamy wnioski
12 sie 16:26