relacja równoważności ite: Niech r ⊆ P(N) ✖ P(N) będzie taką relacją, że XrY wtedy i tylko wtedy gdy istnieje skończony zbiór Z o własności X∪Z=Y∪Z. Sprawdzić, że r jest relacją równoważności. Znaleźć [∅]_r. Czy przechodniość mogę wykazać tak: XrY ∧ YrW ⇔ ∃ skończony zbiór Z₁ taki że X∪Z₁=Y∪Z₁ oraz ∃ skończony zbiór Z₂ taki że Y∪Z₂=W∪Z₂. Niech Z₃=Z₁∪Z₂, suma dwóch zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym. Wtedy również X∪Z₃=Y∪Z₃ oraz Y∪Z₃=W∪Z₃, a więc X∪Z₃=W∪Z₃. Stąd XrW.

Adamm: Tak

ite: Jak mogę za pomocą symboli zapisać, że zbiór jest skończony? Czy do klasy abstrakcji wyznaczonej przez zbiór pusty należą wszystkie zbiory skończone?

Adamm: |X|<∞ jest chyba szeroko przyjęte

Adamm: Co jeśli X jest skończony? Wtedy biorąc Z = ... Co jeśli X jest w relacji z ∅ ? Wtedy |X|≤|Z| więc...

ite: Jeżeli dowolnym X jest skończonym podzbiorem P(N), to przyjmuję, że Z=X i wtedy X∪Z=Z oraz ∅∪Z=Z. Czyli X∪Z=∅∪Z → ∅rX.

Adamm: Dokładnie. A jeśli X jest w relacji z ∅, to nie ma bata, musi być zawarty w Z, więc skończony

ite: Czy nieskończone podzbiory P(N) tworzą nieskończenie wiele nieskończonych klas abstrakcji?

Adamm: Przecież można zawrze 'rozrzedzać' zbiór wszystkich liczb naturalnych i tak w kółko 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... 1, 5, 9, 13, 15, ... jako jedna z możliwości

Adamm: zawsze

ite: Do tej samej klasy abstrakcji co {1, 5, 9, 13, 15, ...} będą należeć też {9, 13, 15, ...}, {2, 9, 13, 15, ...}, tak?

Adamm: ważne jest tylko to co w nieskończoności

ite: Tak jak w życiu... Dziękuję za pomoc w zadaniu!