Uzasadnij WhiskeyTaster: Proszę o sprawdzenie dwóch zadań. (1) Uzasadnij, że jeśli liniowy układ równań ma więcej niż jedno rozwiązanie, to ma ich nieskończenie wiele. (2) Uzasadnij, że jeśli rząd macierzy głównej układu jest równy liczbie jej wierszy, to układ jest niesprzeczny. Dodatkowo podaj przykład wskazujący, że nie jest to warunek konieczny. (1) Skoro układ ma więcej niż jedno rozwiązanie, to istnieją takie wektory x₁, x₂, że: Ax₁ = 0, Ax₂ = 0. Skoro tak jest, to x₁ + x₂ również jest rozwiązaniem takiego układu jednorodnego, bo A(x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂. Wobec tego każda kombinacja liniowa αx₁ + βx₂ będzie rozwiązaniem takiego układu. (2) Weźmy macierz M_nxm, gdzie n oznacza liczbę kolumn, zaś m oznacza liczbę wierszy. Jeśli rozszerzymy macierz o wektor b, to nie zmienimy liczby wierszy, tylko kolumn, więc m ≥ rank(A|b) ≥ rankA = m, stąd rank(A|b) = m. A co do przykładu, to weźmy taką macierz rozszerzoną układu rozmiaru 3x3, co ma 2 lnz kolumny i 3 wiersze. Wówczas rankA = 2, zaś liczba wierszy = 3. Tak więc jedno równanie musi być liniowo zależne od pozostałych dwóch, a mimo to układ nie jest sprzeczny.

ABC: jeżeli masz powiedziane podaj przykład to konkretną macierz podawaj a w pierwszym upierdliwy kazałbym ci dokładniej wytłumaczyć dlaczego jest nieskończenie wiele jako egzaminator, a może się powtarzają?

WhiskeyTaster: Konkretna macierz: 1 0 | 2 0 1 | 1 1 1 | 3 A co do nieskończenie wielu rozwiązań, to może niech wektory x₁, x₂ będą liniowo niezależne, a więc tworzą bazę jakiejś przestrzeni liniowej?

Bleee: Prosilbym o wyjasnienie: Ax₁ = 0 i Ax₂ = 0 Przy tym zapisie wychodzi na to że x₁ = x₂ I czym jest to A? Nie definiujesz tego nigdzie.

ABC: 16:54 jeszcze mógłbyś dopisaćdla wygody sprawdzającego x=2 y=1 jest rozwiązaniem a tam 17:05 co Bleee mówi musisz precyzyjnie rozumowanie prowadzić istotne jest że skoro zakładasz dwa różne rozwiązania x₁, x₂ , x₁≠x₂ , to przynajmniej jedno z nich nie jest wektorem zerowym

WhiskeyTaster: Hm, no dobrze. To zdefiniujmy przekształcenie F: Rⁿ → R^m, F(X) = x₁A₁ + ... + x_nA_n. Oznaczmy F_A jako przekształcenie F zadane macierzą A. Wówczas F_A = AX. Istnieją pewne x₁ ≠ x₂, takie, że Ax₁ = 0 oraz Ax₂ = 0. Wówczas A(αx₁ + βx₂) = αAx₁ + βAx₂ = 0, a więc x₁, x₂ tworzą bazę dla pewnej przestrzeni liniowej, z której to każdy wektor będzie rozwiązaniem. Czy taka forma jest wystarczająca? Chcę wyeliminować właśnie takie moje nieścisłości w rozumowaniu.

ABC: a teraz moim skromnym zdaniem popadasz z jednej skrajności w drugą sam początek tego co napisałeś jest trochę niejasny dla mnie, ja bym napisał tak, skoro jeden z wektorów x₁, x₂ jest niezerowy , przypuśćmy x₁ , to rozważamy kombinacje αx₁+βx₂ gdzie β=0 , czyli αx₁ i jeśli α przebiega R mamy nieskończenie wiele różnych rozwiązań

Adamm: to nie do końca tak jest 1) NIech ten układ liniowy będzie zadany przez macierz A i wektor b wzorem Ax = b i niech x₁, x₂ będą jego rozwiązaniami. Weźmy dowolną kombinację wypukłą x₁ i x₂, px₁+qx₂, gdzie p+q = 1 wtedy A(px₁+qx₂) = pb+qb = b

Adamm: Prawdą jest za to, że jeśli układ jest jednorodny (czyli b = 0), i ma jakiekolwiek niezerowe rozwiązanie, to ma też nieskończenie wiele rozwiązań. Faktycznie, jeśli przemnożymy go przez dowolny skalar, również dostaniemy rozwiązanie równania.

Bleee: Nadal Ax₁ = 0 i Ax₂ = 0 to stąd wynika że x₁=x₂ =0 co jest sprzeczne z tym co zakladasz Bo skoro Ax₁ = 0 to A⁻¹Ax₁ = A⁻¹0 czyli x₁ = 0 Gdzie oczywiście 0 nie oznacza macierz o jednym wierszu czy tam kolumnie.

Adamm: 2) niech ten układ to Ax = b i A ma m wierszy b jest wektorem m wymiarowym Jeśli A ma rząd m, znaczy to, że wymiar A(Rⁿ) = R^m, gdzie n − liczba kolumn w szczególności, istnieje x dla którego Ax = b

Adamm: trochę przyspieszyłem znaczy to że A(Rⁿ) jest poprzestrzenią m−wymiarową R^m, skąd A(Rⁿ) = R^m

Bleee: Ja bym zaproponował podejście geometryczne do problemu obudowane (ewentualnie) indukcja matematyczna

Adamm: @Bleee tylko w przypadku gdy A można odwrócić, czego oczywiście nie zakładamy

Adamm: ale to też coś wnosi pokazałeś że jeśli układ jednorodny ma więcej niż 2 rozwiązania, to wyznacznik macierzy tego układu jest = 0

ABC: tak, to co napisałem odnosi się do układu jednorodnego, bo autor w pierwszym poście przedstawiał rozwiązanie dla układu jednorodnego Adamm 17:39 a jeśli to przestrzeń liniowa nad ciałem skończonym?

Adamm: wiadomo o co chodzi, o przestrzenie Euklidesowe można byłoby rozważać przestrzenie wektorowe skończone, ale wtedy nic nieskończonego by nie wyszło

Adamm: ewentualnie zespolone

WhiskeyTaster: Rozumiem. Też w pewnym momencie myślałem nad układem niejednorodnym, ale przyznam, że nie wiedziałem jak nazwać taką kombinację, która mi da b. Co do rozwiązania Adama, tego z 17:45 − moje też jest akceptowalne? I, generalnie, czy macie jakieś godne polecenia książki/skrypty na temat dowodów? Jak widzicie, kuleję w tej kwestii.

Adamm: Szczerze mówiąc to nie bardzo rozumiem. Rozszerzyłeś macierz o kolumnę i mówisz że ona też ma rząd m. Ale co z tego?

WhiskeyTaster: I z tw. Kroneckera−Cappeli wiemy, że jeśli rankA = rank(A|b), to układ jest niesprzeczny.

ABC: w kwestii dowodów dużo daje słuchanie dobrych wykładowców i ćwiczeniowców, tylko pewnie coraz trudniej o takich ...

Adamm: Faktycznie, było coś takiego. Uważam że to z grubsza rzeczy bezużyteczne twierdzenie więc go nie używam.

WhiskeyTaster: Adamm, alternatywą jest to, co Ty pokazałeś? Mam na myśli określanie niesprzeczności układu.

Adamm: To nie jest tak że to jest złe twierdzenie, po prostu jest bezużyteczne dla mnie.

WhiskeyTaster: Czyli im dalej w las, tym mniej potrzebne?