zaraz michal cynarski: Wykaż, że jeżeli wielomian ax³+bx²+cx+d ma dwa pierwiastki będące liczbami przeciwnymi to ad=bc

Adamm: To nie musi być prawda np. x³+x²+x ma 0 jako pierwiastek

Adamm: chyba chodzi tu o dwa różne pierwiastki

Adamm: x≠0 ax³+bx²+cx+d = 0 −ax³+bx²−cx+d = 0 bx²+d = 0 ax²+c = 0 skąd adx² = cbx² ad = cb

wredulus_pospolitus: Adamm 'liczbami przeciwnymi' Skoro mają być 'liczbami przeciwnymi' to znaczy że istnieje taki k∊R₊, że: W(x) = ax³ + bx² + cx + d = (x−k)(x+k)(ex + f) wymnażamy tą postać i otrzymujemy: (x−k)(x+k)(ex + f) = ex³ + (−ek + ek + f)x² + (−ek² − fk + fk)x − fk² = = ex³ + fx² − ek²x − fk² ... i stąd mamy: a = e ; f = b = ax³ + bx² − ak²x − bk² ... czyli c = −ak² ; d = −bk² więc: a*d = a*(−bk²) = −abk² = b*(−ak²) = b*c c.n.w.

Saizou : Adamm u ciebie wielomian x³+x²+x=x(x²+x+1)=x((x+1/2)²+3/4) ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty więc nie spełnia on założeń.

Adamm: stare podręczniki...tak bywa

Saizou : można też zastosować wzory Viete'a niech x₁, x₂, x₃ będą pierwiastkami tego wielomiany oraz x₂=−x₁ wówczas:

	b
x1+x2+x3=x1+(−x1)+x3=x3=−
	a

	c
x1x2+x1x3+x2x3=x1*(−x1)+x1x3+(−x1)*x3=−x12=
	a

	d
x1*x2*x3=x1*(−x1)*x3=−x12x3=−
	a

stąd mamy:

	c
−x12=
	a

	−b		−d		d
−x12*		=		⇒−x12=
	a		a		b

c		d
	=
a		b

ad=bc

michal cynarski: dzięki