potrzebne na już michal cynarski: Wykaż , że jeżeli x+y+z=1 , to x² + y² + z² ≥ 1/3

Adamm: proste −> nierówności między średnimi

Mila: Z. x+y+z=1 Wiadomo, że: 1) x²+y²≥2xy 2) x²+z²≥2xz 3)z²+y²≥2zy x²+y²+z²=(x+y+z)²−(2xy+2xz+2zy)≥1−[x²+y²+x²+z²+z²+y²] ⇔ x²+y²+z²≥1−[x²+y²+x²+z²+z²+y²]⇔ 3(x²+y²+z²)≥1

	1
x2+y2+z2≥
	3

II sposób Nierówność między średnią kwadratową i arytmetyczną: x+y+z=1

	x+y+z
√x2+y2+z23≥		⇔
	3

	1
√x2+y2+z23≥		/2
	3

x2+y2+z2		1
	≥		/*3
3		9

	1
x2+y2+z2≥
	3

jc: 0 ≤ (x−1/3)²+(y−1/3)²+(z−1/3)²=x²+y²+z²−2(x+y+z)/3 + 1/3 = x²+y²+z² − 1/3 W ostatniej równości wykorzystałem fakt, że x+y+z=1.