Przekształcenia WhiskeyTaster: Uzasadnij, że podprzestrzeń W < Rⁿ taką, że dimW = k można opisać układem n − k równań liniowych. Zdefiniujmy przekształcenie F: Rⁿ → W. Skoro W < Rⁿ, to W = R^k. Więc F: Rⁿ → R^k. Z tw. o indeksie wiemy, że n = dimImF_A + dimkerF_A, czyli n = dimLin{A₁, ..., A_k} + dimkerF_A, więc n − k = dimkerF_A. Czyli otrzymujemy przestrzeń rozwiązań układu jednorodnego, ale wiemy, że wymiar warstwy rozwiązań jest taka sama, jak wymiar przestrzeni rozwiązań. Czy to jest wystarczające?

Adamm: napisałeś zdefiniujmy, ale nic nie definiujesz.

WhiskeyTaster: Fakt. Niech F([x₁, ..., x_n]) = [1, 2, ..., k−1, k]

jc: Niech u₁, u₂, ..., u_j będzie bazą dopełnienia ortogonalnego W w Rⁿ. Wtedy W jest zbiorem rozwiązań układu równań u₁*w=0 u₂*w=0 ... u_j*w=0 * oznacza iloczyn skalarny. j=n−k.

Adamm: Ah, myślałem nad dopełnieniem ale liniowym. Wszystko jasne.

WhiskeyTaster: Czy jest inny sposób na rozwiązanie zadania? Nie przerabiałem jeszcze dopełnienia ortogonalnego.