Granica ciągu - prawda? Dejsza: Czy prawda, że lim_x→∞ ^{sin x}_x = 1? Wiem, że lim_x→0 ^{sin x}_x = 1, bo lim_x→0 ^{sin x}_x = [⁰₀] = = (reguła d'Hospitala) = lim_x→0 ^{cos x}₁ = [¹₁] = 1. Jednakże jak jest w przypadku x→∞? W takiej sytuacji lim_x→∞ sin x nie istnieje...?

PW: |sinx| ≤ 1, a więc dla x>0

	sinx		|sinx|		1
|		− 0| =		≤		,
	x		x		x

co oznacza że

	sinx
lim		= 0.
	x

x→∞

Dejsza: Nie do końca rozumiem odpowiedź?

wredulus_pospolitus: to może inaczej ze szkoły średniej wiesz, że: −1 ≤ sinx ≤ 1 więc:

−1		sinx		1
	≤		≤
x		x		x

zatem na mocy tw. o 3 ciągach

	sinx
limx−>∞		= 0
	x

wredulus_pospolitus: (bo granice tych dwóch skrajnych wyrażeń są równe 0)

Dejsza: Teraz jest bardziej zrozumiałe Ogólnie przerabiam egzaminy z matematyki, żeby jakoś zaliczyć w sesji poprawkowej :,D

PW: To znaczy że nie rozumiesz definicji granicy funkcji w nieskończoności. Pokazałem, że wartości funkcji

	sinx
f(x) =
	x

	1
dowolnie mało różnią się od 0 dla dostatecznie dużych x (przecież		można uczynić
	x

dowolnie małą − mniejszą od dowolnej ε>0).

Dejsza: Być może nie do końca to rozumiem. Wiem, że lim _n→∞ sin x nie istnieje i mnie to zgubiło.

wredulus_pospolitus: PW ... mogę tylko zgadywać, ale obawiam się, że Dejsza nawet nie miała na wykładach definicji granicy (takie czasy nastały)

wredulus_pospolitus: Dejsza − jeżeli naprawdę chcesz się przygotować do egzaminu poprawkowego − to po przerobieniu kilkunastu/kilkudziesięciu przykładów zamieść tutaj linki do zadań i rozwiązań, z całą pewnością sprawdzimy i poprawimy/naprowadzimy

wredulus_pospolitus: PS. Taka mała uwaga: to co napisałem o 17:09 jest prawdą TYLKO jeżeli x>0 chodzi mi oto:

	−1		sinx		1
−1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒		≤		≤
	x		x		x

ale to tak tylko dla jasności

Dejsza: Egzamin u mnie wygląda tak, że masz 10 zadań prawda/fałsz po 3 odp. Potem jest całka oznaczona i nieoznaczona. Potem część teorii. Tak czy siak, wolę robić zadania z uzasadnieniem, żeby dobrze zrozumieć.

wredulus_pospolitus: no to nadal −−− proponuje abyś najpierw SAMODZIELNIE do tego podszedł ... zrobił co potrafisz. Następnie zdjęcie/skan zadań i Twoich rozwiązań −−− na serwer i podajesz linki

wredulus_pospolitus: To nam ułatwi sprawę bo od razu zobaczymy: 1) Jaki jest poziom egzaminu 2) Co miałeś na teorii (i co powinieneś wiedzieć) 3) Co potrafisz

Dejsza: Wiesz, w wykładach nie zawsze jest wszystko, dlatego czasem mam problem z ogarnięciem tego. Staram się sama, żeby to zrozumieć, ale są takie przykłady, że człowiek nie wie, co napisać w uzasadnieniu. No i jak masz przykład podany z lim _x→0 ^{sin x}_x = 1, to w nieskończoności inaczej wygląda, a nie było tego przykładu w materiałach.

wredulus_pospolitus: może tego konkretnego przykładu nie było ... ale na wykładzie na pewno miałaś tw. o 3 ciągach i na pewno na ćwiczeniach miałaś zadania które rozwiązywałaś korzystając z tegoż twierdzenia

Dejsza: Mam ledwo jeden przykład z tw. 3 ciągów

Jerzy: Spróbuj to: lim_n→∞ ⁿ√10ⁿ + 7ⁿ

Dejsza: Tutaj bym po prostu wzięła lim_n→∞ ⁿ√10ⁿ + 7ⁿ =lim_n→∞ ⁿ√10ⁿ (1 + (⁷₁₀)ⁿ = lim_n→∞ 10 ⁿ√1 + (⁷₁₀)ⁿ = 10, ponieważ (⁷₁₀)ⁿ = 0

Dejsza: Dodatkowo lim_n→∞ ⁿ√aⁿ = a

wredulus_pospolitus: tak ... ale wnioskowanie trochę błędne (ze względu na skrót myślowy)

	7
(		)n ≠0
	10

	7
limn−>∞ (		)n = 0
	10

Jerzy: Wynik jest dobry,ale rozwiąż korzystając z tw. o trzech ciągach.

Dejsza: Hmmm. ⁿ√10ⁿ<ⁿ√10ⁿ+7ⁿ<ⁿ√2*10ⁿ lim_n→∞ ⁿ√10ⁿ = 10, bo lim_n→∞ ⁿ√aⁿ = a lim_n→∞ ⁿ√2*10ⁿ = lim_n→∞ ⁿ√10ⁿ * lim_n→∞ ⁿ√2 = 10, bo lim_n→∞ ⁿ√aⁿ = a i lim_n→∞ ⁿ√a = 1. Zatem lim_n→∞ ⁿ√10ⁿ+7ⁿ = 10?

wredulus_pospolitus: dokładnie o takie oszacowanie chodziło Jerzemu ja bym się znowu przyczepił 'wnioskowaniu', ale już daruję sobie, aby Ciebie nie męczyć zbyteczną (dla Ciebie) teorią

Jerzy:

Dejsza: Takie gdybanie w zadaniach to jest dość problematyczne. Wolę zadania typowo rachunkowe.

wredulus_pospolitus: A mogę się zapytać −−− jaki kierunek studiujesz?

Dejsza: Informatykę. Taką czystą matematykę mam na pierwszym roku tylko.

wredulus_pospolitus: Skoro informatykę studiujesz to możesz mi wierzyć −−− jeszcze prawdziwego 'gdybania' nie miałaś I muszę Ciebie zmartwić −−− matematykę będziesz miała także później, po prostu przedmiot się będzie inaczej nazywał, ale to będzie 'czysta matematyka' (np. algorytmy i struktury danych, matematyka dyskretna, algebra, metody numeryczne, probabilistyka/prawdopodobieństwo)

Dejsza: Algorytmy i struktury danych (no może mały problem był z strukturami), matematykę dyskretną i metody numeryczne przebrnęłam bezproblemowo

wredulus_pospolitus: Ja tylko piszę −−− to nie koniec matematyki

wredulus_pospolitus: A 'gdybania' to będziesz miała w momencie programowania (i 'gdybania' odnośnie tego "co ja idiotyzmy może ktoś wstukać i jak temu zaradzić w kodzie") Z własnego doświadczenia mogę Ci powiedzieć, że tworząc program tak naprawdę tylko ~10% zajmuje napisanie kodu, który będzie działał przy dobrze wprowadzonej danej, całą resztę spędzasz na testowaniu (m.in. błędnie wprowadzanych danych) i poprawianiu kodu w celu wyeliminowania błędów z tym związanych.

wredulus_pospolitus: co za* miało być

Dejsza: Domyślam się Po prostu zwykła matematyka mi sprawia nieco problem przez takie pytania tak/nie. Dlatego próbuję robić zadania z uzasadnieniem, żeby wiedzieć, jak rozwiązać ten typ zadań na egzaminie. Całki ogarniam dobrze, ale granice czy funkcje to trochę problemów mi sprawiają.

Jerzy: Policz całkę:

	ex − e−x
∫		dx
	ex + e−x

Dejsza: Lubisz się znęcać, co?

Dejsza: Korzystając z podstawienia t = e^x + e^−x, otrzymamy wynik ln |e^x + e^−x| + C

Jerzy: Nie, chcę ci poazać, co to jest spostrzegawczość.Przypatrz się dobrze.

Dejsza: Można od razu zauważyć, że z f(x) = e^x + e^−x wychodzi f'(x) = e^x − e^−x A mając jedną z własności ∫^f'(x)_f(x) = ln |f(x)|. Tylko pani się czepia tego i każe podstawiać t.

Jerzy: Brawo,albo zauważyć,że licznik jest pochodną mianownika.

Jerzy: Nie ma racji.

Dejsza: To ten typ starszego wykładowcy

Adamm: Udowodnisz dla dowolnego f, to co za problem?