rekurencja na ogolny Laplace: hej, zapomniałem jak się robiło rekurencje na wzór ogólny, szczególnie w przypadku kiedy mamy jakieś wolne n* coś a nie same a_n −y rekurencja: a_n=a_n−1+3*n−1 szukam wzoru ogólnego. W pamięci niestety nie dałem rady Proszę o pomoc.

an:

	(3n+4)(n−1)
an=an−1+3*n−1=a1+
	2

Mariusz: Akurat tutaj można zsumować część niejednorodną ale na ogół lepszym pomysłem są funkcje tworzące (zwłaszcza że przyjąłeś przezwisko Laplace) Zwykła funkcja tworząca , dla ciągu jedynek dająca szereg geometryczny A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Wykładnicza funkcja tworząca , dla ciągu jedynek dająca eksponentę

	an
A(x)=∑n=0∞		xn
	n!

Po skorzystaniu z sumy otrzymujesz a₀+∑_k=1ⁿ3k−∑_k=1ⁿ1

	(n+1)n
=a0+3		−n
	n

	3n2+3n−2n
=a0+
	2

	n(3n+1)
=a0+
	2

Po skorzystaniu z funkcji tworzącej A(x)=∑_n=0^∞ a_nxⁿ ∑_n=1^∞ a_nxⁿ=∑_n=1^∞ a_n−1xⁿ+∑_n=1^∞(3n−1)xⁿ ∑_n=1^∞ a_nxⁿ=x(∑_n=1^∞ a_n−1xⁿ⁻¹)+(∑_n=0^∞(3n−1)xⁿ+1

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	1
∑n=0∞nxn−1=−		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

∑_n=0^∞ a_nxⁿ−a₀=x(∑_n=0^∞ a_nxⁿ)+ 3(∑_n=^∞(n+1)xⁿ−4(∑_n=0^∞xⁿ)

	3		4
A(x)−a0=xA(x)+		−		+1
	(1−x)2		1−x

	3−4(1−x)
A(x)−a0=xA(x)+		+1
	(1−x)2

	−1+4x
A(x)−a0=xA(x)+		+1
	(1−x)2

	−1+4x
A(x)(1−x)=a0+1+
	(1−x)2

	a0+1		−1+4x
A(x)=		+		+
	1−x		(1−x)3

	a0+1		−4+4x+3
A(x)=		+
	1−x		(1−x)3

	a0+1		4		3
A(x)=		−		+
	1−x		(1−x)2		(1−x)3

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)xn)=		(		)
dx		dx		(1−x)2

	−2
∑n=0∞(n(n+1))xn−1=		(−1)
	(1−x)3

	2
∑n=1∞(n(n+1))xn−1=
	(1−x)3

	2
∑n=0∞((n+1)(n+2))xn=
	(1−x)3

	3
A(x)=(∑n=0∞(a0+1+		(n+1)(n+2)−4(n+1))xn)
	2

	1
A(x)=(∑n=0∞(a0+1+		(n+1)((3n+6−8)))xn)
	2

	1
A(x)=(∑n=0∞(a0+1+		(n+1)(3n−2))xn)
	2

	1
A(x)=(∑n=0∞(a0+		((n+1)(3n−2)+2))xn)
	2

(n+1)(3n−2)+2=3n²−2n+3n−2+2=n(3n+1)

	1
A(x)=(∑n=0∞(a0+		n(3n+1))xn
	2

	1
an=a0+		n(3n+1)
	2