Macierze WhiskeyTaster:

	A 0 0 B		C 0 0 D
Proszę o pomoc z zadaniem. Sprawdź, że dla macierzy		i		, gdzie A, C ∊

	A 0 0 B	C 0 0 D		AC 0 0 BD
Mmxm oraz B ,D ∊ Mnxn zachodzi			=		. Użyj tego faktu

	A 0 0 B
do znalezienia macierzy odwrotnej do		.

Aby mnożyć macierze X i Y, to ilość kolumn macierzy X musi odpowiadać ilości wierszy macierzy

	A 0 0 B
Y. Macierz		ma w sumie m+n kolumn oraz m+n wierszy. To samo dotyczy macierzy N{C

0}{0 D}, więc możemy przeprowadzić operację mnożenia. Stąd już nietrudno sobie wyobrazić, że

	AC 0 0 BD
mnożąc kolejne wiersze i kolumny otrzymamy wynik		.

	A 0 0 B
Musimy znaleźć teraz macierz odwrotną do		i wykorzystajmy do tego powyższą

zależność.

A 0 0 B	C 0 0 D		AC 0 0 BD		AC 0 0 BD
		=		/ *z prawej strony		−1

A 0 0 B	C 0 0 D	AC 0 0 BD
			−1 = I

	A 0 0 B		C 0 0 D	AC 0 0 BD
Więc		−1 =			−1

AC 0 0 BD		1	BD 0 0 AC
	−1 =			, więc
		det(ACBD)

A 0 0 B		1	C 0 0 D	BD 0 0 AC
	−1 =
		det(ACBD)

I tutaj, o ile nie wcześniej, mam pewien problem. Otóż macierz C jet rozmiaru mxm, zaś macierz BD jest rozmiaru nxn. Stąd nie wiem, jak to wymnożyć. Czy może chodzi, by zostawić to tak, jak jest?

Adamm:

A 0 0 B		A−1 0 0 B−1
	−1 =

Adamm: machać rękoma to zawsze można, ale porządnie udowodnić?

A 0 0 B
	= (pi, j)1≤i, j≤n+m

C 0 0 D
	= (qi, j)1≤i, j≤n+m

p_{i, j} = a_{i, j} dla 1≤i, j≤n b_{i, j} dla n+1≤i, j≤n+m 0 w przeciwnym wypadku podobnie q_{i, j}

A 0 0 B	C 0 0 D
		= (ri, j)1≤i, j≤n+m

gdzie r_{i, j} = ∑_k=1^n+m p_{i, k}q_{k, j} potrafisz dokończyć?

Adamm: a_{i, j} oraz b_{i, j} to oznaczenia na wyrazy macierzy A i B

WhiskeyTaster: Hm, zanim spróbuję, dwa pytania do tego, co zostało przez Ciebie napisane. Pierwsze: Czy mógłbym prosić o szybko dowód tego równania z 00:23? Drugie: Czy p_{i, j} nie powinno być a_{i, j} dla j ≥ 1 i j ≤ m? Macierz A jest rozmiaru mxm, więc gdyby wziąć m < n, to trafimy w wyraz zerowy.

WhiskeyTaster: Dobra, co do pierwszego pytania, to głupie − w końcu to właśnie mam udowodnić...

Adamm: m i n są u mnie odwrotnie

Adamm:

A 0 0 B		A−1 0		AA−1 0
	*		=		= I
		0 B−1		0 BB−1

WhiskeyTaster: Dobrze, stwierdziłem, że to zadanie zostawię na koniec, więc teraz do niego wracam. Oznaczenia: i − numer wiersza, j − numer kolumny

A 0 0 B
	= (pi,j) gdzie 1 ≤ i, j ≤ m+n

C 0 0 D
	= qi,j) gdzie 1 ≤ i, j ≤ m+n

p_i,j = a_i,j dla i ∊ [1, m] ⋀ j ∊ [m, n] b_i,j dla i ∊ [m+1, m+n] ⋀ j ∊ [m+1, m+n] 0 dla pozostałych przypadków. Analogicznie oznaczamy q_i,j.

	A 0 0 B	C 0 0 D
Stąd			= (ri,j) gdzie 1 ≤ i, j ≤ m+n.

r_i,j = ∑_k=1^m+n p_i,kq_k,j. Stąd otrzymujemy, że: r_i,j = ∑_k=1^m a_i,kc_k,j dla i ∊ [1, m] ⋀ j ∊ [m, n] ∑_{k = m+1}^m+n b_i,kd_k,j dla i ∊ [m+1, m+n] ⋀ j ∊ [m+1, m+n] 0 w pozostałych przypadkach. Ale wiemy również, że AC = ∑_k=1^m a_i,kc_k,j dla i ∊ [1, m] ⋀ j ∊ [m, n], więc:

A 0 0 B	C 0 0 D		AC 0 0 BD
		=

I teraz moje pytanie: czy korzystając z tego, można od razu powiedzieć, że

A 0 0 B		A−1 0 0 B−1
	−1 =		? Widzę, że jeśli tak jest, to dostaniemy w jednej

	I 0 0 I
macierzy		, więc główna przekątna będzie składała się z samych jedynek, więc

otrzymamy macierz identycznościową, ale nie wiem, czy nie należy tego w jakiś sposób pokazać.

Adamm: Poprawiam się. Potrzebujemy jeszcze następującego:

	A 0 0 B
det		= det(A)det(B)

	A 0 0 B
w ten sposób pokażemy że przy założeniu		jest odwracalne, A i B można odwrócić,

i rachunek 20 lip 2:29 ma sens.

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_klatkowa#cite_note-1 tu masz dowód

WhiskeyTaster: Przeanalizuję dowód. Wiem, że coś takiego zachodzi, jednak nie było to dowodzone. Dziękuję za pomoc, Adamm.