Dowód WhiskeyTaster: Proszę o pomoc z dowodem: Z twierdzenia Bezout'a wywnioskuj, że jeśli P ∊ R₇[x] oraz P(1) = P(2) = ... = P(8) = 0, to P jest wielomianem zerowym. Dodatkowo, definiując odpowiednie przekształcenie liniowe F: R₇[x] → R⁸ oraz korzystając z twierdzenia o indeksie wywnioskuj, że dla dowolnych liczb a₁, a₂, ..., a₈ istnieje jedyny wielomian P stopnia ≤ 7, taki, że P(1) = a₁, P(2) = a₂, ..., P(8) = a₈. Z tw. Bezout'a wiemy, że jeśli dla pewnego wielomianu istnieje a ∊ R, takie że P(a) = 0, to (x−a)|P(x). Korzystając z tego twierdzenia, możemy zapisać, że P(x) = Q(x)*(x−1)*...*(x−8). Przyjmijmy, że R(x) = (x−1)*...*(x−8). Wówczas, jako że chcemy, by oba wielomiany były równe, to ich stopnie również muszą się zgadzać. Jednak degP ≤ 7, zaś degR = 8. Wobec tego, aby równanie było prawdziwe, musi zajść Q(x) = P(x) = 0. Druga część: Zdefiniujmy przekształcenie liniowe F: R₇[x] → R⁸, F(P) = [P(1), ..., P(8)]. Korzystając z twierdzenia o indeksie wiemy, że dimImF + dimkerF = dim(R₇[x]). Dodatkowo widać, że [P(1), ..., P(8)] = P(1)[1, ..., 0] + ... + P(8)[0, ..., 1], tak więc dimImF = 8. Sumując te informacje otrzymujemy, że dimkerF = 0. I to jest moment, gdzie jestem w kropce. Skoro F(P) = [P(1), ..., P(8)] oraz P(1) = a₁, ..., P(8) = a₈, to [P(1), ..., P(8)] = [a₁, ..., a₈]. Załóżmy, że mamy wielomiany P(x), Q(x), takie że P(x) ≠ Q(x) oraz Q(1) = a₁, ..., Q(8) = a₈. Wówczas otrzymujemy, że [P(1), ..., P(8)] = [a₁, ..., a₈] = [Q(1), ..., Q(8)]. Czyli [P(1), ..., P(8)] = [Q(1), ..., Q(8)]. Ale czy to jest wystarczające do stwierdzenia, że P(x) = Q(x)?

Adamm: z tw. Bezouta P(x) = Q(x)(x−1)...(x−8) Jeśli Q(x) byłby niezerowy, to P byłoby stopnia ≥8, a to niemożliwe więc Q(x) jest zerowy, a przy tym P(x) F − takie samo dim KerF = 0 co pokazaliśmy wcześniej stąd F jest różnowartościowe, a dim ImF = 8 z twierdzenia o indeksie, zatem ponieważ dim R⁸ = 8, to F musi być także 'na'

WhiskeyTaster: No właśnie da się to pokazać jakoś inaczej niż korzystając z różnowartościowości oraz określenia "na"? Jeszcze nie doszedłem do etapu, gdy jest pokazane kiedy i dlaczego to działa, więc wolałbym tego uniknąć.

Adamm: nie

WhiskeyTaster: Okej. Dziękuję, Adamm.