Dowód WhiskeyTaster: Proszę o sprawdzenie. Mam udowodnić, że jeśli v₁, ..., v_n są lz, a F: V → W jest przekształceniem liniowym, to F(v₁), ..., F(v_n) są lz. Dodatkowo mam odpowiedzieć, czy analogiczna zależność zachodzi dla lnz wektorów. Skoro v₁, ..., v_n są lz, to niech v_i będzie kombinacją liniową pozostałych wektorów. Wówczas v_i = α₁v₁ + ... + α_i−1v_i−1 + α_i+1v_i+1 + ... + α_nv_n. Wówczas korzystając z tego, że F jest przekształceniem liniowym, otrzymujemy F(v_i) = F(α₁v₁ + ... + α_i−1v_i−1 + α_i+1v_i+1 + ... + α_nv_n) = F(α₁v₁) + ... + F(α_i−1v_i−1) + F(α_i+1v_i+1) + ... + F(α_nv_n) = α₁F(v₁) + ... + α_i−1F(v_i−1) + α_i+1F(v_i+1) + ... + α_nF(v_n) Sprawdźmy więc, czy wektory F(v₁), ..., F(v_n) są lz: α_1'F(v₁) + ... + α₁F(v₁) + ... + α_i−1F(v_i−1) + α_i+1F(v_i+1) + ... + α_nF(v_n) + ... + α_n'F(v_n) = 0 (α_1' + α₁)F(v₁) + ... + (α_i'−1 + α_i−1)F(v_i−1) + (α_i'+1 + α_i+1)F(v_i+1) + ... + (α_n' + α_n)F(v_n) = 0 Stąd otrzymujemy układ równań: α_1' + α₁ = 0 . . . α_n' + α_n = 0 Stąd otrzymujemy, że dla pewnego α_j ≠ 0 (bo v_i jest kombinacją liniową, więc musi istnieć takie α_j) mamy α_j' + α{j} = 0, więc α_j' = −α_j, co jest sprzeczne z założeniem liniowej niezależności, więc F(v₁), ..., F(v_n) są lz. A co do pytania: jeśli wektory są lnz, to ich przekształcenia również.

Adamm: Prościej Niech v₁, ..., v_n są liniowo zależne. Istnieją stałe a₁, ..., a_n, przy czym co najmniej jedna różna od zera, takie że a₁v₁+...+a_nv_n = 0 skąd a₁F(v₁)+...+a_nF(v_n) = F(a₁v₁+...+a_nv_n) = F(0) = 0 więc F(v₁), ..., F(v_n) są liniowo zależne Co do drugiego pytania, liniowa niezależność v₁, ..., v_n nie pociąga za sobą liniowej niezależności F(v₁), ..., F(v_n) np. v₁ = (1, 0), v₂ = (0, 1) F(x, y) = x+y ale F(v₁) = F(v₂) − nie ma liniowej niezależności

WhiskeyTaster: Rozumiem, faktycznie trochę prościej, trochę bardzo. Co do drugiego pytania, to zdecydowanie się pospieszyłem z odpowiedzą. Dziękuję, Adamm.