Twierdzenie o indeksie WhiskeyTaster: Proszę o sprawdzenie, dla pewności. Korzystając z twierdzenia o indeksie oblicz wymiary podanych przestrzeni: (1) { P ∊ R₅[x]: P(−x) = P(x)} (2) { P ∊ R₃[x]: ∫⁰₁P(x) dx = P'(1) = 0} (3) { P ∊ R₃[x]: xP'''(x) + P''(x) = 0} (4) { A ∊ M_2x2: A = 2A^T}

	1
(1)		(P(x) + P(−x)) = bx4 + dx2 + f, stąd dimImF = 3, dimkerF = 3
	2

(2) ∫⁰₁P(x) dx = 0 oraz P'(1) = 0, stąd układ dwóch równań:

1		1		1		1		1		1
	a +		b +		c + d = 0 ⇒ d = −		a −		b −		c
4		3		2		4		3		2

3a + 2b + c = 0 ⇒ c = −3a − 2b

	7		4		7		4
Czyli d = −		a −		b, stąd P(x) = a(x3 − 3x −		) + b(x2 − 2x −		)
	4		3		4		3

dimkerF = 2, dimImF = 2 (3) dimImF = 2, dimkerF = 2 (bo funkcjami zerowymi będą przekształcenia funkcji stałych oraz liniowych)

	−a b−2c c−2b −d
(4) A − 2AT =		, stąd a = b = c = d = 0

dimkerF = 0, dimImF = 4

Adamm: Co mówi twierdzenie o indeksie? wymiar obrazu + wymiar jądra = wymiar wyjściowej przestrzeni ?

Adamm: jest źle już widzę na starcie

WhiskeyTaster: Aj, aj, masz rację. Głupi błąd w (1). P(x) − P(−x) = 2ax⁵ + 2cx³ + 2ex, stąd dimImF = 3, a dimkerF = 3. A odpowiadając na pytanie: twierdzenie mówi tyle, że wymiar obrazu + wymiar jądra = wymiar dziedziny

Adamm: Rozumiem, że F: P(x) → P(x)−P(−x)

Adamm: 2) F(P(x)) = (∫₀¹ P(x), P'(1)) dim ImF = 2 skąd dim KerF = 2

Adamm: 3) xP'''(x)+P''(x) = (xP''(x))' F = DLD², D − operator różniczkowania, L − mnożenie przez x D²(R₃[x]) = R₁[x] i łatwo zauważyć że DL(R₁[x]) = R₁[x] stąd dim ImF = 2, więc dim KerF = 2

Adamm: 4) F: A → A−2A^T

	a b c d		−a b−2c c−2b −d
A =		to A−2AT =		skąd dim ImF = 4, więc dim KerF = 0

Adamm: Miałeś dobrą intuicję, ale nie podałeś co to F. Po drugie, nie chodzi o to żeby obliczać wymiar bezpośrednio, raczej o to żeby znaleźć wymiar obrazu, przy czym F dobieramy tak, żeby nasza przestrzeń była jądrem przekształcenia F

WhiskeyTaster: Rozumiem, czyli powinienem jeszcze podawać, jak wygląda F i dopiero na tym pracować. Dziękuję za sprawdzenie i uwagi, Adamm.