indukcja matematyczna zienio: nie jestem w stanie pojąć indukcji matematycznej nawet na przykładowych prostych zadaniach...:( a mam do udowodnienia taką nierówność − n!≥n² dla n≥4

Adamm: oznaczmy T(n): n!≥n² sprawdzasz że T(4) zakładasz że T(n), n≥4 Dowodzisz że wtedy również T(n+1)

zienio: tzn. dwa pierwsze kroki ogarniam, ale ten trzeci jest dla mnie problemem

Adamm: (n+1)! = (n+1)n! ≥ (n+1)n² (tu skorzystaliśmy z T(n)) ale n² ≥ n+1 dla n≥4, więc (n+1)! ≥ (n+1)n² ≥ (n+1)²

Adamm: powiedziałbym raczej że to są dwa kroki

zienio: dlaczego (n+1)n! ≥ (n+1)n² ? rozumiem, że (n+1)!=(n+1)n!, ale skąd (n+1)n² ?

Adamm: a≥b, c≥0 ⇒ ca≥cb

zienio: ok, ale chodzi mi o to, że dla n+1 wychodzi (n+1)!≥(n+1)² (n+1)n!≥(n+1)² skąd u Ciebie (n+1)n² ?

Jerzy: Masz: n! > n² i mnożysz obustronnie przez (n + 1)

zienio: ale dlaczego tak? myślałem, że trzeba k+1 (czy tam n+1) podstawić pod n... i dlatego właśnie nie rozumiem indukcji, jest w ogóle dla mnie nieintuicyjna...

Adamm: siebie nie rozumiesz!

zienio: dobra, nieważne... chyba już tak musi być, że nigdy nie pojmę indukcji wielokrotnie podejmowałem próby jej zrozumienia, ale widzę, że to nie ma sensu...

gy: niektórzy już tak mają nie umieją logicznie myśleć nie po co te bezskuteczne próby, skoro gość napisał, że nie zrozumie to NIE ZROZUMIE

gy: teraz odpowiedzcie kto był głupszy ?

wredulus_pospolitus: To może ja się podejmę wyjaśnienia indukcji matematycznej ... uwaga − będzie dużo tekstu Chcemy udowodnić jakąś własność. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnimy, że ta własność będzie spełniona dla jakiegoś kroku o ile prawdziwa jest dla kroku wcześniej. Pierwszym punktem, jest udowodnienie tego dla 'pierwszego kroku'. 1) n = 4 4! = 4*3*2*1 = 24 ≥ 16 = 4² spełnione Drugim krokiem jest ZAŁOŻENIE, że dana własność jest spełniona dla 'jakiegoś kroku': 2) n = k k! ≥ k² Trzecim i ostatnim krokiem jest wykazanie, że dana własność jest spełniona dla następnego kroku (o ile jest spełnione dla wcześniejszego). W tym kroku dowodzimy spełnienie tegoż kroku korzystając z poprzedzającego kroku: 3) n = k+1 mamy wykazać, że (k+1)! ≥ (k+1)² zatem: (k+1)! = (k+1)*k*(k−1)*...*2*1 = (k+1)*n! ≥ ... a wiemy (z (2), że k! ≥ k², a więc ... ≥ (k+1)k² ≥ (k+1)*(k*4) = (k+1)*(k + 3k) > (k+1)*(k+1) = (k+1)² no i wykazaliśmy tą nierówność (dla n≥4) kooooniec

zienio: tak jak już pisałem 1 i 2 krok rozumiem, ale to co się dzieje w trzecim już nie... "≥ (k+1)k² ≥ (k+1)*(k*4) = (k+1)*(k + 3k) > (k+1)*(k+1) = (k+1)²" sam początek − ≥ ? co jest większe równe (k+1)k² dalej, skąd nagle (k*4)

wredulus_pospolitus: więc tak z drugiego kroku indukcji wiemy (zakładamy) że k! ≥ k² więc: (k+1)*k! ≥ (k+1)*k² prawda prawda. skoro mamy na samym początku, że rozważamy tylko n≥4 ... no to k≥4 ... więc k² = k*k ≥ k*4 (no bo k≥4) więc: (k+1)*k² ≥ (k+1)*(k*4)

wredulus_pospolitus: zrobiłem to tylko i wyłącznie po to by 'bardziej przejrzysty' sposób pokazać jak pokazać, że k² ≥ (k+1)

wredulus_pospolitus: co oczywiście można wykazać wprost pisząc:

	1−√5		1+√5
k2 − k − 1 ≥ 0 ⇔ k∊(−∞,		) u (		; +∞)
	2		2

	1+√5
... natomiast 4 > 2 >		... tak więc dla k≥ 4 zachodzi: k2 > k+1
	2

Mila: Możesz pkt2 zrobić tak: Masz wykazać, że z nierówności k!≥k² dla dowolnego naturalnego k≥4 wynika: (k+1)!≥(k+1)² D: korzystając z zał. k!≥k² /*(k+1) k!*(k+1)≥k²*(k+1) ⇔ (k+1)!≥k²*(k+1) wiadomo, że k²>k+1 dla k≥4 zatem (k+1)!≥k²*(k+1)>(k+1)*(k+1)=(k+1)²

jc: Bez indukcji łatwiej. (n−2)(n−1) ≥ n dla n ≥ 4 (n−3)! ≥ 1 dla n ≥ 3 mnożymy stronami i mamy (n−1)! ≥ n A teraz jeszcze przez n n! ≥ n²

: