Uzasadnij WhiskeyTaster: Proszę o sprawdzenie, czy to, co rozumuję jest wystarczające do rozwiązania dwóch zadań. (1) Uzasadnij, że jeśli P{i} jest wielomianem stopnia i, dla i = 0, 1, 2, ..., n, to P₀, P₁, ..., P_n stanowią bazę przestrzeni liniowej R_n[x]. (2) Uzasadnij, że przestrzenie liniowe R[x], C(R) oraz przestrzeń wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. (1) Niech i, k oznaczają stopień wielomianu. Weźmy więc i, k ∊ {0, ..., n} takie, że i ≠ k. Wówczas wielomiany P_i oraz P_k mają różne stopnie wielomianów, więc P_i ≠ P_k, stąd wielomiany (które traktujemy jako wektory w przestrzeni liniowej) są liniowo niezależne. Wobec tego wielomiany P₀ ≠ P₁ ≠ ... ≠ P_n, tak więc są one liniowo niezależne. Wobec tego mamy zbiór liniowo niezależny o liczbie elementów równym n + 1, co jest równe wymiarowi przestrzeni liniowej R_n[x]. Wobec tego zbiór wielomianów P₀, ..., P_n są bazą przestrzeni liniowej R_n[x]. (2) Zacznijmy od R[x]: Weźmy wektory 1, x, x², x³, ..., xⁿ. Wiemy, że Lin{1, x, ..., xⁿ} = R_n[x] oraz, że R_n[x] < R[x]. Wobec tego, dokładając wektor x^{n + 1} do już istniejącej bazy 1, x, ..., xⁿ otrzymujemy nową bazę 1, x, ..., xⁿ, x^{n + 1}. I znowu Lin(1, x, ..., xⁿ, x^{n + 1}} = R_{n + 1}, w dodatku R_n[x] < R_{n + 1}[x] < R[x]. Powtarzając tę procedurę, zawsze znajdziemy dodatkowy liniowo niezależny wektor do już istniejącej bazy, która to nowa baza będzie generować podprzestrzeń przestrzeni R[x]. Wobec tego wymiar przestrzeni R[x] jest nieskończony. Myślę, że dla C(R) należy zrobić analogicznie biorąc jako wektory funkcje sinus, cosinus. Co do ciągów, to biorąc ciąg nieskończony, baza będzie wyglądała jakoś tak: 1, 1, 1, ... Czy wszystko to, co napisałem, jest wystarczające?

Adamm: 1) źle 2) też źle

Adamm: 2) 1, x, x², x³, ..., xⁿ, ... − wektory niezależne liniowo w R[x] ⇒ R[x] ma nieskończony wymiar Ale funkcje f₀, f₁, f₂, f₃, ..., f_n, ... zdefiniowane przez f_k(x) = x^k też są niezależne liniowo więc C(R) też ma nieskończony wymiar w przestrzeni ciągów wystarczy wybrać ciągi e_k = (a_n^k)_n∊N, takie, że a_n^k = 1 gdy n = k, 0 w przeciwnym wypadku

Adamm: 1) tutaj się przyda pochodna a₀+P₀+a₁P₁+...+a_nP_n = 0 a₀P₀⁽ⁿ⁾+a₁P₁⁽ⁿ⁾+...+a_nP_n⁽ⁿ⁾ = 0 no ale P_k⁽ⁿ⁾ = 0 dla k<n, a P_n⁽ⁿ⁾ ≠ 0 skąd a_n = 0 dowód idzie przez indukcję

Adamm: 2) Przepraszam, twoje rozwiązanie ujdzie. To dokładnie to samo co pokazać że 1, x, x², ... są niezależne.

WhiskeyTaster: Co do (1). Czyli różniczkowalność wielomianu świadczy o jego stopniu, stąd różniczkowanie całej sumy. I nasuwa mi się pewien wniosek: mówiąc, że wielomiany P(x) oraz Q(x) są różne, a mają inne stopnie, to tak naprawdę mówimy, że różniczkują się inną ilość razy? Bo intuicyjnym jest, że wielomian x² ≠ x. W tym wypadku chodzi mi o zrozumienie tego, jak to powiązać z pochodną, skoro sam intuicyjny fakt nie wystarcza.

Adamm: alternatywnie można powiedzieć tak a_nP_n(x)+...+a₀P₀(x) = 0 współczynnikiem przy xⁿ jest a_n*c, gdzie c współczynnik przy xⁿ wielomianu P_n(x), niezerowego z założenia z równości wielomianów mamy a_n*c = 0, skąd a_n = 0 sprowadziliśmy tą równość do równości a_n−1P_n−1(x)+...+a₀P₀(x) = 0 i przez indukcję a_n−1 = ... = a₀ = 0 = a_n

WhiskeyTaster: Rozumiem. Trochę chciałem to robić na skróty i przyjąć, że wielomiany o różnych stopniach są liniowo niezależne "bo tak", zamiast pokazać, że tak faktycznie jest. Dziękuję za wyjaśnienia, Adamm.