Liniowa zależność WhiskeyTaster: Jak sprawdzić, czy wektory: sinx, cosx, sin2x ∊ C(R) są lnz/lz? Wiem, że należy sprawdzać, czy kombinacja liniowa zeruje się dla współczynników równych zero, ale nie mam pojęcia, jak to porównać do funkcji liniowej (o ile ona jest wynikiem).

Adamm: najpierw, jak rozumieć zadanie f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = sin2x pytamy się o to, czy z równości a*f+b*g+c*h = 0 wynika a, b, c = 0 tutaj a*f+b*g+c*h oznacza funkcję przypisującą liczbie x∊R wartość a*f(x)+b*g(x)+c*h(x), a 0 oznacza funkcję tożsamościowo równą 0 spróbujmy dowidzieć się cokolwiek o a, b, c a*f(0)+b*g(0)+c*h(0) = 0 ⇒ b = 0 a*f(π/2)+c*h(π/2) = 0 ⇒ a = 0 no i stąd już trywialnie c = 0 czyli są liniowo niezależne

jc: a sin x + b cos x + c sin 2x = 0 Podstawiamy x= 0, π/2, π/4. b = 0 a = 0 a/√2 + b/√2 + c =0 Wniosek: a=b=c. Jedyną kombinacją liniową równą zero jest kombinacja o wszystkich współczynnikach równych zero, co oznacza, że wektory są liniowo niezależne.

Adamm: w zadaniu tym (niesłusznie zresztą) utożsamili funkcję cosinus z cosx, sinus z sinx, a funkcję przypisującą argumentowi sinus podwojonego argumentu z sin2x tak się nie powinno robić, ale czasami jest to wygodne

WhiskeyTaster: Generalnie był to jeden podpunkt z kilku, gdzie trzeba było sprawdzać liniową zależność/niezależność wektorów, tak dla treningu. Rozumiem, że mając na przykład przestrzeń wielomianów co najwyżej stopnia 3, można to robić w sposób identyczny? To znaczy, podstawić kolejno za x dowolne, skończone wartości i otrzymać układ czterech równań z czterema nieiadomymi i go rozwiązać? Adamie, co masz na myśli z "utożsamianiem funkcji"?

Adamm: cos(x) − wartość cosinusa w punkcie x to nie jest funkcja

jc: Pewnie chodziło o oznaczenia: f oznacza funkcję, f(x) wartość funkcji w punkcie x.

jc: Już Adamm odpowiedział. Można było powiedzieć: czy funkcje przyporządkowujące zmiennej x wartości: cos x, sin x, ... są liniowo niezależne ... Ale po co, skoro nie prowadziło to do nieporozumienia?

Adamm: Wcale że nie, potem student to czyta i robi straszne głupoty. Już to widziałem po ludziach.

Adamm: Inaczej jest z wielomianami, wielomian nie jest funkcją. Oznaczenie w(x) na jakiś wielomian jest zupełnie poprawne.

jc: Adamm, jeśli chciałbym rzecz napisać ściśle i krótko napisałbym: czy funkcje: x→sin x, x→cos x, ... Nie lubię wprowadzania nowych nazw bez poważniejszego powodu.

jc: Podobnie funkcja wymierna nie jest funkcją.

Adamm: Wiem. Ale wolę odróżniać zapisy takie jak zapis f:E→F oznaczający funkcję f ze zbioru E w zbiór F, od zapisu f:x→f(x) oznaczającego że funkcja f przypisuje x punkt f(x) Robię to pisząc taką małą kreskę na początku strzałki, |→ Niestety tutaj czegoś takiego nie ma, a powyższe wygląda po prostu śmiesznie.

WhiskeyTaster: Dobrze, rozumiem już, o co chodziło. To jeszcze zapytam o to, na czym polega podstawienie konkretnego argumentu x i jak się ma to do nieliniowości/liniowości. Mówicie, że biorąc sobie za x różne wartości wnioskujecie coś o współczynnikach a, b oraz c. Czy analogicznie taki sposób będzie dobry dla innych wektorów, na przykład mając wielomiany? Zastanawia mnie to, bo jednak podstawiając konkretną wartość x otrzymujemy wartości, tak? Na przykład: Czy 1, x, x² są lnz/lz? a + bx + cx² = 0 Weżmy x = 0, x = 1, x = 2: a = 0 a + b + c = 0 a + 2b + 4c = 0 a = 0, więc mamy: b + c = 0 2b + 4c = 0 ⇒ b + 2c = 0 Czyli b = −c oraz b = −2c, czyli a = b = c = 0 Działać działa, ale nie rozumiem dlaczego.

Adamm: Faktycznie, wydaje się że w języku polskim nie ma rozróżnienia funkcji wymiernej w sensie algebraicznym i w sensie funkcji. Przynajmniej ja nic nie znalazłem.

Adamm: Chociaż nie, jest takie słowo. Wyrażenie wymierne.

Adamm: Tak, można tak samo postąpić jak poprzednio.

Adamm: a_nxⁿ+...+a₀ = 0 ⇔ a_n = ... = a₀ = 0 Ale f(x) = a_nxⁿ+...+a₀, x∊R jest funkcją zerową wtedy i tylko wtedy gdy a_n = ... = a₀ = 0. Innymi słowy, tutaj te pojęcia (tak samo jak w przypadku liczb zespolonych) się pokrywają.

WhiskeyTaster: W porządku, już rozumiem. Dziękuję, Panowie.

jc: Pamiętam, jak na początku szkoły średniej usłyszałem, że wielomian to pewne wyrażenie. Dopiero kilka lat później zrozumiałem to stwierdzenie.

WhiskeyTaster: Hm, dobra, może nie do końca, bo jeszcze naszła mnie pewna myśl. Czyli tak ogólnie rzecz biorąc, gdy podstawiamy jakiś konkretny argument x, to w pewnym sensie przechodzimy na wartości wielomianu, tak? Bo dla x ∊ R, wielomian zerowy zawsze przyjmuje wartość 0, więc podstawiając konkretny argument w tym momencie porównujemy, czy wartości wielomianów w tych punktach są sobie równe. Znalazłem też informację o tym, że dwa wielomiany stopnia n są sobie równe, kiedy mają n+1 punktów wspólnych. Czyli tutaj tak naprawdę sprawdzamy 3 punkty i na tej podstawie wnioskujemy. Zgadza się?

jc: Jeśli 1, x, x² traktujesz jako wielomiany, to w ogóle nie ma czego dowodzić. Jeśli 1, x, x² traktujesz jako funkcje wielomianowe (skrót, jak w pierwszym zadaniu), to faktycznie podstawiasz 3 różne liczby. Przy okazji, wyznacznik otrzymanego układu równań, to wyznacznik Vandermonda. Wielomian ≠ 0, stopnia nie wyższego niż 2, nie może mieć więcej niż 2 pierwiastki. Jeśli ma więcej to jest wielomianem zerowym.

WhiskeyTaster: Rozumiem, dziękuję za wszelkie wyjaśnienia. Teraz myślę, że naprawdę rozumiem.

Adamm: Z tego co było powiedziane już wcześniej, nie ma znaczenia czy traktujesz je jako funkcje wielomianowe czy wielomiany. Wychodzi na to samo.