zadano liczby naturalne Wiola: m i n to liczby całkowite nieujemne Znajdź największą liczbę naturalna p, która nie spełnia poniższego równania p = 5m + 8n

jc: 27, sprawdź! Większe liczby dają się tak zapisać. Spróbuj sam wyjaśnić, dlaczego. Reszty z dzielenia 8k przez 5: 0 0 8 3 16 1 24 4 32 2

wredulus_pospolitus: Załóżmy, że istnieje taka największa liczba naturalna p, że p ≠ 5m+8n dla dowolnych naturalnych m,n I) w takim razie: p+1 = 5m+8n ⇔ p = 5m + 8n − 1 = 5(m+3) + 8(n−2) p+1 = 5m+8n ⇔ p = 5m + 8n − 1 = 5(m−5) + 8(n+3) czyli: jeżeli n≥2 lub m≥5 to nie sposób znaleźć takiego p, że p ≠ 5m+8n ale p+1 = 5m+8n innymi słowy: jeżeli p+1 = 5*(5+a) + 8(2+b) to p można przedstawić w tej postaci, więc p+1 ≤ 5*4 + 8*1 = 28 −> p ≤ 27 II) w takim razie: p+2 = 5m+8n ⇔ p = 5m+8n − 2 = 5(m−2) + 8(n+1) p+2 = 5m+8n ⇔ p = 5m+8n − 2 = 5(m+6) + 8(n−4) czyli: jeżeli n≥4 lub m≥2 to nie sposób znaleźć takiego p, że p ≠ 5m+8n ale p+2 = 5m+8n innymi słowy: jeżeli p+2 = 5*(2+a) + 8(4+b) to p można przedstawić w tej postaci, więc p+2 ≤ 5*1 + 8*3 = 29 −> p ≤ 27 III) w takim razie: p+3 = 5m+8n ⇔ p = 5m+8n − 3 = 5(m+1) + 8(n−1) p+3 = 5m+8n ⇔ p = 5m+8n − 3 = 5(m−7) + 8(n+4) czyli: jeżeli n≥1 lub m≥7 to nie sposób znaleźć takiego p, że p ≠ 5m+8n ale p+3 = 5m+8n innymi słowy: jeżeli p+3 = 5*(7+a) + 8(1+b) to p można przedstawić w tej postaci, więc p+3 ≤ 5*7 + 8*1 = 43 −> p ≤ 40 IV) w takim razie: p+4 = 5m+8n ⇔ p = 5m+8n − 4 = 5(m−4) + 8(n+2) p+4 = 5m+8n ⇔ p = 5m+8n − 4 = 5(m+4) + 8(n−3) czyli: jeżeli n≥3 lub m≥4 to nie sposób znaleźć takiego p, że p ≠ 5m+8n ale p+4 = 5m+8n innymi słowy: jeżeli p+4 = 5*(4+a) + 8(3+b) to p można przedstawić w tej postaci, więc p+4 ≤ 5*3 + 8*2 = 31 −> p ≤ 27 Czyli p ≤ 27 27 = 5 + 22 = 10 + 17 = 15 + 12 = 20 + 7 < −−− więc nie można przedstawić w postaci 5m + 8n

wredulus_pospolitus: Uwaga −−− powyższe rozumowanie jest prawidłowe przy założeniu, że taka największa liczba istnieje.

jc: To może uzupełnię swoje rozwiązanie. Od każdej liczby całkowitej p≥32, możemy odjąć taką wielokrotność liczby 8, że pozostanie nam nieujemna wielokrotność liczby 5. Dowodzi to, że każdą liczbę całkowitą p≥32 można zapisać w postaci p=5n+8m. 29=5+3*8, 28=4*5+8 Ale liczby 27−8=19, 27−2*8=11, 27−3*8=3 nie są wielokrotnościami liczby 5, więc liczby 27 nie zapiszemy w postaci 5n+8m.