Dowód WhiskeyTaster: Mam udowodnić, że obraz przekształcenia liniowego F: R³ → R³ jest podprzestrzenią R³. Czy wystarczy ładnie napisać, że obraz zawiera się w przeciwdziedzinie, więc jest pewną kombinacją liniową wektorów z przeciwdziedziny, a więc jest również podprzestrzenią R³?

jc: Nie. f(odcinek)=punkt lub odcinek ≠ przestrzeń linowa. f(u)+f(v)=f(u+v) kf(u)=kf(u) czyli suma dwóch wartości jest wartością, iloczyn wartości i liczby jest wartością, obraz jest podprzestrzenią. Można też tak napisać. Jeśli a, b ∊ f(R³), to a=f(u), b=f(v) dla pewnych u,v ∊R³, a+b=f(u)+f(v)=f(u+v) ∊ f(R³). Podobnie z iloczynem przez.

Adamm: f:V→W, f − liniowa V, W − przestrzenie liniowe, to f(V) − podprzestrzeń liniowa W spróbuj to udowodnić, to dosyć proste

WhiskeyTaster: Adam, czy to będzie coś w tym stylu? Niech a, b ∊ f(V). Wówczas dla pewnych wektorów v, w ∊ V mamy: f(v) = a oraz f(w) = b. Wtedy a + b = f(v) + f(v) = f(v + w) ∊ f(V). Dodatkowo dla pewnego α ∊ R mamy: αa = αf(v) = f(αv) ∊ f(V). Czyli pokazaliśmy, że kombinacja liniowa dwóch wektorów z f(V) również należy do f(V) oraz mnożenie przez skalar rzeczywisty pewnego wektora z f(V) również należy do f(V). Zgadza się?

Adamm: To nie ma być pewien skalar, tylko każdy skalar. Ale tak.

WhiskeyTaster: A, faktycznie, moje przeoczenie. Dziękuję, Panowie, wydaje mi się, że rozumiem. Wyjdzie w praniu, przy innych zadaniach.