Równanie w liczbach naturalnych Jabluszko: Witam 7^x + 3^y = 4 x, y mają być naturalne. Dochodzę do etapu, że równanie nie ma rozwiązań w liczbach parzystych, a w nieparzystych ma tylko jedno rozwiązanie (x, y) = (1,1), ale nie potrafię wykazać, że dla x, y > 1 nie ma rozwiązań. Jakaś miła duszyczka chętna pomóc ?

Jabluszko: Oczywiście źle napisałem, powinno być 7^x − 3^y = 4

wredulus_pospolitus: aby: 7^x − 3^y = 4 to (7^x − 3^y) (mod 4) = 0 zauważmy, że 7 (mod 4) = 3 więc: (7^x − 3^y) (mod 4) ≡ (3^x − 3^y) (mod 4) ≡ 3^y(3^x−y − 1)(mod 4) oczywiście 3^y (mod 4) ≠ 0 więc musi zachodzić: (3^x−y − 1) (mod 4) = 0 , przy czym x ≤ y więc x−y ≤ 0 skoro x−y < 0 to 3^x−y ≤ 1 ... więc (3^x−y − 1) (mod 4) = 0 może zajść jedynie gdy 3^x−y = 1 ... czyli gdy x = y Tak więc, wiemy że jedynymi (rzeczywistymi) rozwiązaniami które mają jakąkolwiek szansę spełniać to równanie będą pary spełniające równanie x = y Wstawiamy: 7^x − 3^x = 4 ⇔ (4+3)^x − 3^x = 4 zauważmy, że otrzymujemy: 4 = (4+3)^x − 3^x ≥ 4^x + 3^x − 3^x = 4^x 4 ≥ 4^x −> x = 1 (jedyna naturalna liczba która może spełniać równanie) ... sprawdzamy: 7¹ − 3¹ = 7 − 3 = 4 supcio

wredulus_pospolitus: na pewno można to zrobić w inny sposób

wredulus_pospolitus: ewentualnie zastanów się chwilę w jaki sposób wykazać dlaczego (dla x,y ∊ N₊) musimy założyć x ≤ y co jest pomocne później w podaniu: więc x−y ≤ 0

mat: Niech x, y>1 takie że 7^x − 3^y = 4 7^x − 3^y = 7 − 3 7^x − 7 = 3^y − 3 7(7^x−1−1) = 3(3^y−1−1) stąd wynika, że 3^y−1−1 jest podzielne przez 7, czy to możliwe?

mat: 3² = 2 mod 7 3³ = 6 mod 7 3⁴ = 4 mod 7 3⁵ = 5 mod 7 3⁶ = 2 mod 7 itd... więc...

wredulus_pospolitus: mat: niech y = 6n+1 wtedy 3^y−1 − 1 = 3⁶ⁿ = 729ⁿ − 1 = (7*104 + 1)ⁿ − 1 <−−− więc jest podzielne przez 7

wredulus_pospolitus: 3⁵ = 5 mod 7 −> 3⁶ = 3*5 mod 7 = 15 mod 7 = 1 mod 7

mat: tak, zrobiłem tam błąd 3⁶ =1 mod 7 no czyli tak sie nie uda

wredulus_pospolitus: mat −−− teraz trochę zgaduję, ale czy nie było takiego twierdzenia, że jeżeli a,b są względnie pierwsze to: a^k (mod b) będzie przyjmować KAŻDĄ z wartości od 1 do b−1

mat: aa nie kojarze

wredulus_pospolitus: albo inaczej −−−− małe twierdzenie Fermata: a^p−1 − 1 ≡ 0 (mod p) gdzie NWD(a,p) = 1 oraz p to liczba pierwsza

jc: 18:10 y<x, chyba że x=y=1. Dlatego rozkład na iloczyn 3^x(3^y−x−1) nie bardzo ma sens (drugi czynnik jest ułamkiem) Można jednak dokończyć pomysł z 18:12. 7 | 3^r−1 ⇒ 13|3^r−1 13| 7^s−1 ⇒ 9| 7^s−1 (pozostawiam do wykazania licząc na to, że ktoś zaproponuje ładniejszy dowód od mojego) i mamy sprzeczność, bo prawa strona nie dzieli się przez 9, chyba że jest równa zero, a wtedy x=y=1.