Rozwiązanie równania Katowice nocą: Wyznaczyć rozwiązanie równania y'=y*lny/(x+1), spełniające warunek y(1)=2. Proszę z o rozwiązanie z wytłumaczeniem

jc: To jest równanie o zmiennych rozdzielonych, co oznacza, że x można umieścić po jednej stronie, a y po drugiej. dy/dx = y ln y /(x+1)

dy		dx
	=		, tu niestety tracimy rozwiązanie z y=1, ale my mamy y(1)=2
y ln y		x+1

Teraz dopisujemy po obu stronach symbol całki.

	dy		dx
∫		= ∫
	y ln y		x+1

ln |ln y| = ln|x+1| + C, po jednej ze stron dodajemy C Podstawiamy y=2, x=1. ln ln 2 = C. W otoczeniu x=2, y=1 moduły nie są potrzebne ln ln y = ln ln 2 + ln (x+1) ln y = (ln 2) (x+1) y = 2^x+1

Katowice nocą: Dziękuję, choć zdaje się, że odpowiedź powinna wyjść y=e^ln√2(x+1)

wredulus_pospolitus: zacznijmy od tego Katowice, że: e^{ln 'coś'} = 'coś' <−−− kłania się szkoła średnia i logarytmy więc te e^{ln (√2(x+1)} = √2(x+1) a gdyby było y = √2(x+1) to wtedy: y' = √2 czyli miałoby zachodzić:

	√2(x+1)*ln(√2(x+1))
√2 =
	x+1

√2 = √2*ln(√2(x+1)) no chyba jednak nie bardzo

wredulus_pospolitus: ale faktycznie jc troszeczkę namieszał i zgubił coś przy wyznaczaniu stałej działamy bowiem w otoczeniu y = 2 i x = 1, więc: ln(ln 2) = ln(2) + C −> C = ln(ln2) − ln2 więc mamy: ln(lny) = ln(x+1) − ln2 + ln(ln2)

	x+1
ln(lny) = ln(		*ln2)
	2

więc y = 2^(x+1)/2

mat: i byłoby to co chciał y=e^ln√2x+1=√2^x+1=2^1/2*(x+1)=2^(x+1)/2

jc: Szkoda, bo pomylony wynik był ładniejszy

Mila: Właśnie dlatego wczoraj nie wpisałam swojego z dwójką w mianowniku