równanie różniczkowe Ziółek: x² + y' = xy + y² ktoś mógłby pomóc z takim równaniem różniczkowym?

Jerzy: Czy z lewej strony nie jest przypadkiem: x²*y' ?

Ziółek: tak, wkradła się pomyłka

Ziółek: myślałem, żeby z tego po prawej wyciągnąć y przed nawias, nie wiem czy to dobry pomysł?

Jerzy: y'x² = xy + y² y' = (y/x) + (y/x)² , podstawienie: u = y/x , y = ux , y' = u'x + u u'x + u = u + u² u'x = x² u' =x

Jerzy: Upss... drobna poprawka: Przedostatnia linijka: u'x = u² .... i teraz rozdzielasz zmienne.

Mariusz: Gdyby jednak było y'=y² + xy − x² to miałbyś równanie Riccatiego Dla równania Riccatiego y'=py²+qy+r podstawienie u(x)=e^{−∫p(x)y(x)dx} sprowadza równanie do liniowego pierwszego rzędu y'=y² + xy − x² u(x)=e^−∫y(x)dx u'(x)=−y(x)e^−∫y(x)dx u'(x)=−y(x)u(x) u''(x)=−y'(x)u(x)−y(x)u'(x)

	u'(x)
y(x)=−
	u(x)

	(u'(x))2
u''(x)=−y'(x)u(x)+
	u(x)

	(u'(x))2−u''(x)u(x)
y'(x)u(x)=
	u(x)

	(u'(x))2−u''(x)u(x)
y'(x)=
	u2(x)

(u'(x))2−u''(x)u(x)		(u'(x))2		u'(x)u(x)
	=		−x		−U{
u2(x)		u2		(u(x))2

x²(u(x))²}{(u(x))²} −u''(x)u(x)=−xu'(x)u(x)−x²(u(x))² u''(x)−xu'(x)−x²u(x)=0 a to równanie trzeba całkować szeregami u(x)=∑_n=0^∞c_nxⁿ ∑_n=0^∞(n+2)(n+1)c_n+2xⁿ−∑_n=0^∞(n+1)c_n+1xⁿ⁺¹−∑_n=0^∞c_nxⁿ⁺² c₂+c₃x+∑_n=2^∞(n+2)(n+1)c_n+2xⁿ −c₁x−∑_n=1^∞(n+1)c_n+1xⁿ⁺¹ −∑_n=0^∞c_nxⁿ⁺² c₂+(c₃−c₁)x+∑_n=0^∞(n+4)(n+3)c_n+4xⁿ⁺²−∑_n=0^∞(n+2)c_n+2xⁿ⁺² −∑_n=0^∞c_nxⁿ⁺² (n+4)(n+3)c_n+4−(n+2)c_n+2−c_n=0 c₀∊ℛ c₁∊ℛ c₂=0 c₃=c₁

	(n+2)cn+2+cn
cn+4=
	(n+4)(n+3)