Całka ssss: Załóżmy, że rozkład prędkości przepływu pewnej cieczy opisany jest przez pole wektorowe: ω = (−y, x, z) Oblicz ilość cieczy, która przepłynie w jednostce czasu przez górną połówkę sfery S = {(x,y,z) ∊ R³ : x²+y²+z² = 1, z ≥ 0} od dołu do góry. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Próbowałam obliczyć całkę potrójną, przechodzić na współrzędne sferyczne, ale nie mam tak naprawdę pojęcia jak się za to zabrać. Dopisek "od dołu do góry" mnie zmylił, zaczęłam myśleć nad całkami powierzchniowymi zorientowanymi czy skierowanymi, tw. Ostrogradskiego−Gaussa... ale nie umiem na nic sensownego wpaść.

jc: Dwa pierwsze składniki dadzą zero (dlaczego?). Zostaje całka z ∫∫zdxdy. Całka powierzchniowa do dnie = 0 bo z=0. Dlatego ∫∫zdxdy = ∫∫∫dxdydz = 2π/3.

jc: Pierwsza uwaga nie była potrzebna. d(−y dy dz + x dz dx + z dx dy) = dx dy dz Z całkę po półsferze uzupełniamy do całki po półsferze i kole. To już zamknięta powierzchnia. Całka po kole = 0 bo z=o. Na koniec przechodzimy do całki po objętości.