Rozwikłanie funkcji uwikłanej Mieszko34: Witam, mam problem z dokończeniem zadania z funkcją uwikłaną. "Wskaż punkty w otoczeniu których nie da sie rozwikłać y jako funkcji x y³+2xy+x²=0".

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_uwik%C5%82ana

d(y3+2xy+x2)		3
	= 3y2+2x = 0 ⇒ x = −		y2
dy		2

y³+2xy+x² = 0 ⇒

	9
y3−3y3+		y4 = 0
	4

	8
y = 0 lub y =
	9

	32
x = 0 lub x = −
	27

to są punkty podejrzane nie jest jeszcze powiedziane że nie można y rozwikłać jako funkcji x

Adamm: niech x = −1/n

	1		1
y3−2y*		+		= 0
	n		n2

	2		1
Δ = −(		)3+(		)2
	3n		2n2

wtedy dla odpowiednio dużych n, Δ<0 zatem y ma 3 gałęzie dla x<0, więc nie można jej rozwikłać

Adamm:

	32
x = −		+ε
	27

	32		32
y3+2y(−		+ε)+(−		+ε)2 = 0
	27		27

	2		32		1		32
Δ = (		[−		+ε])3+(		(−		+ε)2)2
	3		27		2		27

	64		324
→ −(		)3+		≈ 0,99 > 0, dla ε → 0
	81		274*4

co oznacza że dla pewnego ε>0 mamy w pełni określoną funkcję uwikłaną

	32		32
(−		−ε, −		+ε)
	27		27

Adamm: 19:37 to nieprawda y³+2xy+x² = 0

	32
Δ > 0 ⇔ x>0 lub x < −
	27

	32
jeśli jesteśmy w dowolnie małym otoczeniu −		, to od strony dodatniej będziemy
	27

mieć Δ < 0, czyli będziemy mieć tam 3 gałęzie czyli znowu nie ma tam punktu w którym możemy rozwikłać y względem x