Równanie różniczkowe tytus: Równanie różniczkowe y''−5y'=4, warunki: y(0)=1, y'(0)=0

Adamm: w(x) = x²−5x = x(x−5) y_j = C₁+C₂e^5t y_nj = At −5A = 4 ⇒ A = −4/5

	4
y = C1+C2e5t−		t
	5

Adamm: y(0) = 1 ⇒ C₁+C₂ = 1

	4
y'(0) = 0 ⇒ C1+5C2 =
	5

	1		21
C2 = −		, C1 =
	20		20

	21		4		1
y =		−		t−		e5t
	20		5		20

tytus: dziekuje bardzo a moge jescze wiedziec czemu ynj=At, a nie A?

tytus: albo At+B?

Adamm: bo masz pierwiastek jednokrotny x = 0 wielomianu w(x)

tytus: a y' nie bedzie wynosil 5C₂*5x?

Adamm: przepraszam ale to co napisałeś nie ma dla mnie sensu

tytus: y=C₁+C₂e^5t−4/5t wiec y'=5C₂−4/5

tytus: do w.w przykladu

Adamm: aha, już rozumiem tak, masz rację

Mariusz: y''−5y'=4, warunki: y(0)=1, y'(0)=0 ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=f'(t)e^−st|₀^∞−∫−sf'(t)e^−stdt ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=0−f'(0⁺)+s∫₀^∞f'(t)e^−stdt ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=−f'(0⁺)+s(f(t)e^−st|₀^∞−∫−sf(t)e^−stdt) ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=−f'(0⁺)+s(0−f(0⁺)+s∫₀^∞f(t)e^−stdt) ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=−f'(0⁺)−sf(0⁺)+s²∫₀^∞f(t)e^−stdt ∫₀^∞f'(t)e^−stdt=f(t)e^−st|₀^∞−∫−sf(t)e^−stdt ∫₀^∞f'(t)e^−stdt=0−f(0⁺)+s∫₀^∞f(t)e^−stdt

	4
(−0−s+s2Y(s))−5(−1+sY(s))=
	s

	4
−(s−5)+(s2+s)Y(s)=
	s

	4
(s2+s)Y(s)=s−5+
	s

	s2−5s+4
(s2+s)Y(s)=
	s

	s2−5s+4
Y(s)=
	s2(s+1)

s2−5s+4		A		B		C
	=		+		+
s2(s+1)		s		s2		s+1

s²−5s+4=As(s+1)+B(s+1)+Cs² s²−5s+4=(A+C)s²+(A+B)s+B B=4 A=−9 C=10

s2−5s+4		9		4		10
	=−		+		+
s2(s+1)		s		s2		s+1

y(t)=10e^−t+4t−9

Mariusz:

	4
−(s−5)+(s2−5s)Y(s)=
	s

	4
(s2−5s)Y(s)=s−5+
	s

	s2−5s+4
(s2−5s)Y(s)=
	s

	s2−5s+4
Y(s)=
	s2(s−5)

s2−5s+4		A		B		C
	=		+		+
s2(s−5)		s		s2		s−5

s²−5s+4=As(s−5)+B(s−5)+Cs² s²−5s+4=(A+C)s²+(−5A+B)s−5B

	4
−5B=4, B=−
	5

	4
5A−		=−5
	5

	4
5A=−5+
	5

	21
A=−
	25

	21
−		+C=1
	25

	46
C=
	25

A		B		C
	+		+
s		s2		s+5

	21		4		46
y(t)=−		−		t+		e−5t
	25		5		25

	1
y(t)=−		(20t+21−46e5t)
	25