Ciąg funkcyjny Amm: Cześć. Potrzebuje pomocy z takim zadankiem

	1		π
Wyznacz obszar zbieżności i granicę ciągu fn(x)=x2+		*sin[n(x+		)]
	n		2

Sprawdzić w jakim zbiorze zbieżność jednostajna i zbadać czy lim f'_n(x)=[lim f_n(x)]' n−>∞ n−>∞

Adamm: lim_n→∞ f_n(x) = x² = f(x) |f_n(x)−f(x)| = 1/n → 0 zbieżność jest jednostajna wszędzie ale lim_n→∞ f'_n(x) nie istnieje

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbie%C5%BCno%C5%9B%C4%87_jednostajna#W%C5%82asno%C5%9Bci Powinno to skojarzyć się z ostatnim twierdzeniem na tej stronie

Amm: czyli jeśli |f_n(x)−f(x)|,gdzie n−>∞ dąży do liczby różnej od zera to ciąg funkcyjny nie jest zbieżny jednostajnie?

Adamm: jest zbieżny jednostajnie, bo |f_n(x)−f(x)| dąży do zera niezależnie od x i. e. supremum po x z tego wyrażenia dąży do zera

Adamm: |f_n(x)−f(x)| dąży do zera zawsze, z osobna dla każdego x (no o ile coś nie jest źle w rachunkach) ale nie można z tego wnioskować jednostajnej zbieżności

Amm: No rozumiem. Ale jeśli np miałbym coś takiego f_n(x)=arctg(n*x)

	⎧	π2 gdy x>0
f(x)=lim arctg(n*x)=	⎨	0 gdy x=0
	⎩	−π2 gdy x<0

n−>∞ To tutaj muszę też rozpatrywać |f_n(x)−f(x)|? bo tutaj to właściwie z samego lim arctg(n*x) widać że nie jest bieżny jednostajnie

Adamm: pytanie chyba powinno brzmieć o to co powinno się robić, a nie o to co musi się robić

Adamm: Jest twierdzenie. f_n − ciągłe f_n zbieżny jednostajnie do f to f − ciągłe No więc zbieżność nie może być jednostajna.

Amm: Rozumiem. Dziękuję bardzo za pomoc