funkcja holomorficzna problem: Wykazać, że jeżeli f jest holomorficzna i nie znikająca w obszarze D ⊂ C, to Δ|f(z)| =|f'(z)|² / |f(z)|.

Adamm: Δ|f| = (|f|)_xx+(|f|)_yy f = u+iv z holomorficzności mamy

df		1		1
	=		(fx+ify) =		(ux+ivx+iuy−vy) = 0
dz*		2		2

u_x = v_y, u_y = −v_x

df		1
	=		(fx−ify) = ux−iuy
dz		2

|f'|² = u_x²+u_y² |f| = √u²+v²

	uux+vvx		uux+vvx
(|f|)x =		=
	√u2+v2		|f|

	ux2+uuxx+vx2+vvxx		uux+vvx
(|f|)xx =		−		*(|f|)x =
	|f|		|f|2

	ux2+uuxx+vx2+vvxx		(uux+vvx)2
=		−		=
	|f|		|f|3

	ux2+uuxx+uy2−vuxy−|f|2(uux−vuy)2
=
	|f|

	uy2+uuyy+vy2+vvyy		(uuy+vvy)2
(|f|)yy =		−		=
	|f|		|f|3

	uy2+uuyy+ux2+vuxy−|f|2(uuy+vux)2
=
	|f|

	2ux2+u(uxx+uyy)+2uy2−|f|2[(uux−vuy)2+(uuy+vux)2]
Δ|f| =		=
	|f|

https://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci_identity a = u, c = u_x, b = v, d = u_y (ac−bd)²+(ad+cb)² = (a²+b²)(c²+d²)

	2|f'|2+u(uxx+uyy)−|f|4|f'|2
=
	|f|

na razie tyle

Adamm: aha, widzę błąd

	1   ...− (uuy+vux)2   |f|2
(|f|)yy =
	|f|

(|f|)_xx podobnie to wtedy

	|f'|2+u(uxx+uyy)
Δ|f| =
	|f|

ale u_xx = v_xy, u_yy = −v_xy skąd

	|f'|2
Δ|f| =
	|f|

Adamm: a jeśli f znika, to wystarczy napisać |f|*Δ|f| = |f'|² i ta identyczność jest już spełniona dla każdej funkcji holomorficznej