Iloczyn skalarny kasia: Iloczyn skalarny. Wszędzie w Internecie znalazłam, że jest liniowy względem pierwszej współrzędnej. Natomiast na wykładzie mieliśmy, że względem drugiej (i tak też robiliśmy zadania). Czy jest między tym, jakąś zależność czy któraś wersja jest po prostu błędna?

jc: Nie chodzi o współrzędne, tylko o wektory. W przypadku przestrzeni nad R faktycznie iloczyn skalarny jest liniowy ze względu na każdy z dwóch argumentów. W przypadku przestrzeni nad C już tak nie jest. Chcemy, aby v²>0 dla v≠0. Nawet z przestrzenią jednowymiarową jest problem. Jeśli v∊R i v≠0, to v²>0. Niestety dla v∊C już tak nie jest, ale vv^*>0. * oznacza sprzężenie. Jeśli umówimy się, że uov=uv^*, to będziemy mieli liniowość ze względu na u. Ale niektórzy umawiają się odwrotnie. Przykład, iloczyn skalarny w C². (a,b)o(c,d)=ac^* + bd^*. Gdzie to jest ważne? W fizyce kwantowej funkcje falowe (chemicy mówią orbitale) są elementami przestrzeni liniowej na C.

kasia: Bardzo dziękuję