Dowód dla implikacji max: Wykaż, że nie można zdefiniować implikacji używając tylko alternatywy i koniunkcji. Zakładając że mam p i q o wartości logicznej 0 to próbuje udowodnić to indukcyjnie. 1. Dla n= 2 gdzie n to liczba alternatyw bądź koniunkcji. (p ⋁ q ) ⋀ (p ⋁ q) ⇔ 0 (p ⋀ q ) ⋁ (p ⋀ q) ⇔ 0 2. Dalej zakładam, że dla każdego n > 2 zachodzi któraś z formuł : (p ⋁ p ⋁ q ...) ⋀ (p ⋁ q ⋁ p) ⋀ .... ⇔ 0

jc: p, q p i q, p lub q łącząc dowolne dwa wyrażenia z powyższych otrzymamy znów jedno z 4 wyżej wymienionych (należy sprawdzić, ja sprawdziłem). Nigdy więc nie wyjdziemy poza te 4 wyrażenia (to wymaga wyjaśnienia, choć jak się moment pomyśli widać, że tak jest). Implikacji nie ma wśród nich.

max: Czyli nie trzeba tego formalnie udowadniać, bo ja chciałem tak, może niepotrzebnie.

jc: Może trzeba? Dlaczego nie wyjdziemy poza 4 wymienione funkcje? Załóżmy, że można. Wtedy istnieje najkrótsza formuła, która wychodzi poza 4 wymienione. Taka formuła nie jest p ani q, jest więc alternatywą lub koniunkcją krótszych formuł. Ale krótsze formuły sprowadzają się do 4 wymienionych, a ich alternatywy i koniunkcje znów należą do 4 wymienionych. Zatem nie wyjdziemy poza 4 wymienione formuły.